代数学の問題

方針 位数 $3$ の部分群は、位数が素数 $3$ なので巡回群です。そこで、位数 $3$ の元を数えてから、1 つの部分群に含まれる位数 $3$ の元の個数で割ります。

手順 1：$3x=0$ となる元を数える。
$G$ の元 $x=(a,b)$（$a\in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$）について、$3x=(3a,3b)=(0,0)$ となる条件を成分ごとに考えます。
- 第 1 成分：$3a\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ はすべての $a$ で成り立つので、$a$ は $0,1,2$ の $3$ 通りです。
- 第 2 成分：$3b\equiv 0(\mathrm{mod}9)$ となるのは $b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$、すなわち $b=0,3,6$ の $3$ 通りです。

積の法則より、$3x=0$ を満たす元は $3\times 3=9$ 個あります。

手順 2：位数 $3$ の元を数える。
$3x=0$ を満たす元の位数は $3$ の約数、つまり $1$ か $3$ です。位数 $1$ の元は単位元 $(0,0)$ だけなので、位数 $3$ の元は
$$9-1=8\text{個}$$
です。

手順 3：部分群の個数に直す。
位数 $3$ の部分群は巡回群 $\{0,x,2x\}$ の形をしています。その中で位数 $3$ の元は $x$ と $2x$ の $\phi (3)=2$ 個です。また、位数 $3$ の元は、それ自身が生成する部分群にちょうど 1 つずつ属します。したがって、位数 $3$ の元 $8$ 個は、$2$ 個ずつ組になって部分群に分かれます。よって、位数 $3$ の部分群の個数は
$$\frac{8}{2}=4$$
です。

（確認のため具体的に書くと、$x=(1,0),(0,3),(1,3),(1,6)$ がそれぞれ生成する $4$ 個の部分群になります。）

答え：$4$

位数 3 の部分群は位数 3 の元が生成する巡回群である。位数 3 の部分群は位数 3 の元 2 個（$g$ と $-g$）を含む。したがって、位数 3 の元の個数を数えて 2 で割ればよい。

3 倍して 0 になる元の集合 $G[3]=\{(a,b)\mid 3a=0,3b=0\}$ を考える。$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ では任意の $a$ について $3a=0$ なので、$a$ は 3 通り。$\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ では $3b=0$ となるのは $b\in \{0,3,6\}$ の 3 通り。よって $|G[3]|=9$ である。

単位元を除くと位数 3 の元は $9-1=8$ 個である。位数 3 の部分群は $8/2=4$ 個となる。

検算：$G[3]\cong (\mathbb{Z}/3{)}^2$ で、${\mathbb{F}}_3$ 上 2 次元ベクトル空間の 1 次元部分空間の個数は $(3^2-1)/(3-1)=4$ であり、一致する。