代数学の問題

方針 位数 $3$ の元の個数を数え、それを $1$ つの位数 $3$ の部分群に含まれる位数 $3$ の元の個数で割る。

手順1：位数 $3$ の元を数える

直積の元 $(a,b)$ の位数は、$a$ の位数と $b$ の位数の最小公倍数である。位数が $1$ または $3$ の元は、$3(a,b)=(0,0)$ を満たす元である。

• $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ では、すべての $a$ が $3a\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ を満たす。よって $a$ は $0,1,2$ の $3$ 通りである。
• $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ では、$3b\equiv 0(\mathrm{mod}9)$ を満たす $b$ は $b=0,3,6$ の $3$ 通りである。

積の法則より、$3(a,b)=(0,0)$ を満たす元は $3\times 3=9$ 個ある。このうち単位元 $(0,0)$ だけが位数 $1$ なので、位数 $3$ の元は
$$9-1=8\text{個}$$
である。

手順2：1つの部分群に含まれる位数 $3$ の元の個数

位数 $3$ の部分群 $H$ を考える。$3$ は素数なので、ラグランジュの定理より $H$ の単位元以外の元の位数は $3$ である。したがって $H$ は巡回群 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ と同型であり、位数 $3$ の元をちょうど $\phi (3)=2$ 個含む。

手順3：重複がないことを確かめる

位数 $3$ の元 $x$ は、位数 $3$ の部分群 $⟨x⟩=\{0,x,2x\}$ をただ $1$ つ生成する。また、異なる $2$ つの位数 $3$ の部分群の共通部分は部分群であり、その位数は $3$ の約数である。共通部分の位数が $3$ なら $2$ つの部分群は一致してしまうので、共通部分は $\{(0,0)\}$ である。

よって、$8$ 個の位数 $3$ の元は、$2$ 個ずつ重なりなく各部分群に振り分けられる。

手順4：部分群の個数
$$\frac{8}{2}=4$$

実際に生成元で書くと、$⟨(1,0)⟩,⟨(0,3)⟩,⟨(1,3)⟩,⟨(1,6)⟩$ の $4$ 個である。

答え：$4$

位数 3 の部分群は位数 3 の元が生成する巡回群で、各部分群には位数 3 の元がちょうど 2 個ある。よって位数 3 の元の個数を数えて 2 で割ればよい。

位数が 3 以下（3 の約数）の元は 3 倍して 0 になる元である。$(a,b)\in \mathbb{Z}/3\times \mathbb{Z}/9$ について $3(a,b)=(0,3b)=0$ となる条件は $3b\equiv 0(\mathrm{mod}9)$、すなわち $b\in \{0,3,6\}$ である。$a$ は任意の 3 通りなので、この条件を満たす元は $3\times 3=9$ 個。この 9 個は部分群 $\mathbb{Z}/3\times 3\mathbb{Z}/9\cong (\mathbb{Z}/3{)}^2$ をなす。

単位元を除くと位数 3 の元は $9-1=8$ 個。

位数 3 の部分群の個数は $8/2=4$。

検算：$(\mathbb{Z}/3{)}^2$ の 1 次元部分空間の個数は $(3^2-1)/(3-1)=4$ であり一致する。