代数学の問題

位数 $6$ の巡回部分群は位数 $6$ の元 $1$ つで生成され、位数 $6$ の巡回群には生成元がちょうど $\phi (6)=2$ 個ある（$\phi$ はオイラー関数）。よって
$$(\text{位数 }6\text{ の巡回部分群の個数})=\frac{(\text{位数 }6\text{ の元の個数})}{2}$$
である。

位数が $d$ を割り切る元の個数. 巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ で $dx=0$ を満たす $x$ の個数は $\gcd (d,n)$ である。$G$ の元 $(a,b)$ について $d(a,b)=0$ は $da=0$ かつ $db=0$ と同値なので、その個数は $\gcd (d,12)\gcd (d,18)$ である。
- $d=6$: $6\cdot 6=36$
- $d=3$: $3\cdot 3=9$
- $d=2$: $2\cdot 2=4$
- $d=1$: $1\cdot 1=1$

位数がちょうど $6$ の元の個数. 位数が $6$ を割り切る元の位数は $1,2,3,6$ のいずれかである。位数が $3$ を割り切る元（位数 $1,3$）と位数が $2$ を割り切る元（位数 $1,2$）を除けばよく、両方に含まれるのは単位元のみなので、包除原理より
$$36-9-4+1=24.$$

よって位数 $6$ の巡回部分群の個数は $\frac{24}{2}=12$ である。

位数が 6 を割る元は $(\mathbb{Z}/12)[6]\times (\mathbb{Z}/18)[6]$ で $6\cdot 6=36$ 個。位数が 3 を割る元は $3\cdot 3=9$ 個、2 を割る元は $2\cdot 2=4$ 個、1 を割る元は 1 個。位数ちょうど 6 の元は包除原理で $36-9-4+1=24$ 個。位数 6 の巡回群は生成元を $\phi (6)=2$ 個もつので $24/2=12$ 個。