代数学の問題

方針 $\mathbb{Z}[i]$ は単項イデアル整域です。対応定理により、$R=\mathbb{Z}[i]/(45)$ のイデアルは、$(45)$ を含む $\mathbb{Z}[i]$ のイデアルと 1 対 1 に対応します。$\mathbb{Z}[i]$ のイデアルはすべて単項イデアル $(d)$ の形で、$(d)\supset (45)$ は「$d$ が $45$ を割り切る」ことと同じです。また $(d)=(d^{\prime })$ となるのは $d$ と $d^{\prime }$ が単元倍（$\pm 1,\pm i$ 倍）で移り合うときだけです。したがって、$45$ の約元を単元倍の違いを無視して数えればよいことになります。

ステップ 1：$45$ を $\mathbb{Z}[i]$ で素元分解する

$45=3^2\cdot 5$ です。

- $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので、$3$ は $\mathbb{Z}[i]$ でも素元のままです（$3=a^2+b^2$ となる整数 $a,b$ が存在しないため、ノルム $3$ の元がなく、$3$ は分解しません）。
- $5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので、$5$ は 2 つの素元の積になります。$5=2^2+1^2$ より
$$5=(2+i)(2-i)$$
です。ノルムは $N(2\pm i)=2^2+1^2=5$ で素数なので、$2+i$ と $2-i$ はどちらも素元です。

$2+i$ の単元倍は $2+i,-2-i,i(2+i)=-1+2i,-i(2+i)=1-2i$ の 4 つで、$2-i$ はこの中にありません。よって $2+i$ と $2-i$ は同伴でない、異なる素元です。

したがって
$$45=3^2(2+i)(2-i)$$
が $\mathbb{Z}[i]$ における素元分解です。

ステップ 2：約元を数える

素元分解の一意性より、$45$ の約元は、単元倍の違いを除くと
$$d=3^a(2+i{)}^b(2-i{)}^c(a=0,1,2,b=0,1,c=0,1)$$
の形にちょうど 1 通りずつ表されます。指数の選び方は積の法則より
$$3\times 2\times 2=12\text{通り}$$
です。$d=1$ が $R$ 自身に、$d=45$ が零イデアルに対応し、これらも含まれています。

よって $R$ のイデアルの個数は $12$ です。

（参考：$\mathbb{Z}$ の場合と同様に $45$ の正の約数の個数 $6$ を答えると誤りになります。$5$ が $2$ つの素元に分かれる分だけ、イデアルが増えます。また、$R$ の単なる加法部分群はイデアルより多く存在するので、イデアルの条件 $rx\in J$ を満たすものだけを数えることに注意しましょう。）

$\mathbb{Z}[i]$ は単項イデアル整域（ユークリッド整域）である。$45=3^2\cdot 5$ で、$3$ は $\mathbb{Z}[i]$ の素元のまま（$3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$）、$5=(2+i)(2-i)$ と分解する。$2+i$ と $2-i$ は互いに素な素元なので、$45$ は単数倍を除いて $3^2(2+i)(2-i)$ と素元分解される。

中国剰余定理より $R\cong \mathbb{Z}[i]/(9)\times \mathbb{Z}[i]/(2+i)\times \mathbb{Z}[i]/(2-i)$。

単位元をもつ環の直積のイデアルは、各成分のイデアルの直積である。したがって個数は各成分の個数の積になる。

• $\mathbb{Z}[i]/(9)=\mathbb{Z}[i]/(3^2)$ のイデアルは、$(9)$ を含む $\mathbb{Z}[i]$ のイデアル、すなわち $9$ の約数で生成されるもの $(1),(3),(9)$ の 3 個。
• $\mathbb{Z}[i]/(2+i)$ は体（位数 5）なので、イデアルは 2 個。
• $\mathbb{Z}[i]/(2-i)$ も体（位数 5）なので、イデアルは 2 個。

合計は $3\cdot 2\cdot 2=12$ 個。検算として、$45$ の素イデアル冪分解 $(3{)}^2(2+i)(2-i)$ の約数イデアルの個数は $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ となり、一致する。