代数学の問題

手順 1：$x^4-x$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上で既約分解する。

$x^4-x=x(x^3-1)$ である。${\mathbb{F}}_3$ では $3=0$ なので、3 乗の展開公式より
$$(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1=x^3-1$$
となる。よって
$$x^4-x=x(x-1{)}^3$$
で、$x$ と $x-1$ はともに $1$ 次式なので既約であり、互いに異なる（互いに素）。

手順 2：イデアルの個数を求める。

${\mathbb{F}}_3[x]/(f)$ のイデアルは、$f$ のモニックな約元 $h$ と、$h\mapsto (h)/(f)$ によって 1 対 1 に対応する。$f=x(x-1{)}^3$ のモニックな約元は
$$x^a(x-1{)}^b(a=0,1,b=0,1,2,3)$$
であり、$a$ の選び方が $2$ 通り、$b$ の選び方が $4$ 通りなので、積の法則より $2\times 4=8$ 個。よってイデアルは $8$ 個である。

手順 3：単元の個数を求める。

$x$ と $(x-1{)}^3$ は互いに素なので、中国剰余定理より
$$R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x)\times {\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^3)$$
となる。直積環の単元は、各成分が単元である元なので、単元の個数は各成分の単元の個数の積になる。

• ${\mathbb{F}}_3[x]/(x)$：$g=x$（$d=1$）、$e=1$ より $3^1-3^0=2$ 個。
• ${\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^3)$：$g=x-1$（$d=1$）、$e=3$ より $3^3-3^2=27-9=18$ 個。

よって単元の個数は $2\times 18=36$ 個である。

（確認：$R$ の元は $3^4=81$ 個あり、単元は $x=0,x=1$ を代入した値がともに $0$ でない元である。その割合は $\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}$ なので、$81\times \frac{4}{9}=36$ となり一致する。）

答えは $(8,36)$ である。

$x^4-x=x(x^3-1)=x(x-1{)}^3$ が ${\mathbb{F}}_3$ 上で成り立つ（標数 3 より $x^3-1=(x-1{)}^3$）。したがって $x$ と $(x-1{)}^3$ は互いに素であり、中国剰余定理から $R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x)\times {\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^3)$ となる。

第1因子は ${\mathbb{F}}_3$ で、体なのでイデアルは 2 個、単元は 2 個。

第2因子は ${\mathbb{F}}_3[y]/(y^3)$（$y=x-1$）で、局所環である。イデアルは $(y^k)$（$k=0,1,2,3$）の 4 個。単元は極大イデアル $(y)$ に属さない元で、$27-9=18$ 個。

積環のイデアルは各因子のイデアルの直積なので、個数は $2\times 4=8$。単元の個数は $2\times 18=36$。

検算: 単元の個数は $\phi (x)\phi ((x-1{)}^3)=(3-1)\cdot (27-9)=36$。$|R|=81$ で、$81$ 個のうち零因子または非単元は $45$ 個となる。これは $81-36=45$ と整合する。

答えは $(8,36)$。