代数学の問題

$\alpha$ を根にもつ多項式. $\alpha -i=\sqrt{3}$ の両辺を $2$ 乗すると
$${\alpha }^2-2i\alpha -1=3,\text{すなわち}{\alpha }^2-4=2i\alpha .(1)$$
さらに両辺を $2$ 乗すると $({\alpha }^2-4{)}^2=-4{\alpha }^2$、展開して
$${\alpha }^4-8{\alpha }^2+16+4{\alpha }^2=0⟹{\alpha }^4-4{\alpha }^2+16=0.$$
よって $q(x)=x^4-4x^2+16$ は $\alpha$ を根にもつ。

拡大次数が $4$ であること. $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ は実数体に含まれるので $i\notin \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ であり、
$$[\mathbb{Q}(\sqrt{3},i):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{3},i):\mathbb{Q}(\sqrt{3})][\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=2\cdot 2=4.$$
$\alpha \ne 0$ なので $(1)$ から
$$i=\frac{{\alpha }^2-4}{2\alpha }\in \mathbb{Q}(\alpha ),\sqrt{3}=\alpha -i\in \mathbb{Q}(\alpha ).$$
よって $\mathbb{Q}(\alpha )=\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ となり、$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$。

結論. $\alpha$ の最小多項式の次数は $4$ であり、$q(x)$ は $\alpha$ を根にもつ $4$ 次のモニックな有理数係数多項式なので、最小多項式は
$$p(x)=x^4-4x^2+16.$$

$\alpha -\sqrt{3}=i$ の両辺を 2 乗して ${\alpha }^2-2\sqrt{3}\alpha +3=-1$、すなわち ${\alpha }^2+4=2\sqrt{3}\alpha$。再び 2 乗して $({\alpha }^2+4{)}^2=12{\alpha }^2$、${\alpha }^4-4{\alpha }^2+16=0$。よって $x^4-4x^2+16$ が $\alpha$ を根にもつ。$\mathbb{Q}(\alpha )=\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$（$\alpha$ と共役 $\pm \sqrt{3}\pm i$ の実部・虚部から $\sqrt{3},i$ が得られる）で次数 4 なので、この 4 次モニック多項式が最小多項式。