代数学の問題

$\alpha =\sqrt[3]{5}$（$5$ の実数の $3$ 乗根）、$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$（$1$ の原始 $3$ 乗根）とおく。

分解体の生成元. $x^3-5$ の根は $\alpha ,\alpha \omega ,\alpha {\omega }^2$ である。$x^2+3$ の根は $\pm \sqrt{-3}=\pm (2\omega +1)$、$x^2-2$ の根は $\pm \sqrt{2}$ である。$\omega =\alpha \omega /\alpha$ なので
$$L=\mathbb{Q}(\alpha ,\omega ,\sqrt{2})$$
となる。なお、$\sqrt{-3}=2\omega +1\in \mathbb{Q}(\omega )$ なので、因子 $x^2+3$ は体を大きくしない。

$K=\mathbb{Q}(\alpha ,\omega )$ の次数. $x^3-5$ は $p=5$ のアイゼンシュタインの判定法により $\mathbb{Q}$ 上既約である。よって $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$ となる。$\omega$ は $x^2+x+1$ の根であり、$\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ だが $\omega \notin \mathbb{R}$ である。したがって $[\mathbb{Q}(\alpha ,\omega ):\mathbb{Q}(\alpha )]=2$ となり、
$$[K:\mathbb{Q}]=6$$
である。

$\sqrt{2}\notin K$ であること. $M=\mathbb{Q}(\alpha ,\sqrt{2})$ を考える。$[M:\mathbb{Q}]$ は $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$ と $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$ の両方で割り切れるので $6$ の倍数である。一方 $[M:\mathbb{Q}]\le 3\cdot 2=6$ なので、$[M:\mathbb{Q}]=6$ となる。

いま $\sqrt{2}\in K$ と仮定すると、$M\subset K$ かつ $[M:\mathbb{Q}]=[K:\mathbb{Q}]=6$ より $M=K$ となる。ところが $M\subset \mathbb{R}$ であるのに、$K$ は実数でない $\omega$ を含む。これは矛盾である。よって $\sqrt{2}\notin K$ であり、$[L:K]=[K(\sqrt{2}):K]=2$ となる。

結論. 以上より
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:K][K:\mathbb{Q}]=2\cdot 6=12$$
である。$L$ は標数 $0$ の体 $\mathbb{Q}$ 上の多項式の最小分解体なので、$L/\mathbb{Q}$ はガロア拡大である。したがって
$$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=12$$
となる。

$x^3-5$ の根は $\sqrt[3]{5},\omega \sqrt[3]{5},{\omega }^2\sqrt[3]{5}$（$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$）である。$x^2+3$ の根は $\pm \sqrt{-3}$、$x^2-2$ の根は $\pm \sqrt{2}$ である。

したがって $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\omega ,\sqrt{-3},\sqrt{2})$ である。$\sqrt{-3}=2\omega +1\in \mathbb{Q}(\omega )$ なので、$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\omega ,\sqrt{2})$ となる。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\omega )$ は $x^3-5$ の最小分解体で、$[K:\mathbb{Q}]=6$、$\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong S_3$ である。

$S_3$ の指数 2 の部分群は $A_3$ だけなので、$K$ の 2 次部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ だけである。

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})\ne \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ なので $\sqrt{2}\notin K$ であり、$[L:K]=2$ となる。

よって $[L:\mathbb{Q}]=12$ である。また、$L$ は分解体なのでガロア拡大であり、$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=12$ となる。

検算：$K$ と $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ の次数 6 と 2 は互いに素ではないが、上の議論により交わりは $\mathbb{Q}$ である。このとき $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong S_3\times \mathbb{Z}/2$ となり、位数は 12 で一致する。