代数学の問題

手順 1：$\alpha$ を根にもつ有理数係数の多項式を作る。

根号の部分だけを片側に残すように移項すると
$$\alpha -1=\sqrt[3]{2}$$
となる。根号を消すために両辺を $3$ 乗する。3 乗の展開公式 $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ を使うと
$$(\alpha -1{)}^3={\alpha }^3-3{\alpha }^2+3\alpha -1=2$$
よって
$${\alpha }^3-3{\alpha }^2+3\alpha -3=0$$
である。したがって
$$f(x)=x^3-3x^2+3x-3$$
とおくと、$f(x)$ は有理数係数のモニック多項式で $f(\alpha )=0$ をみたす。

手順 2：$f(x)$ が $\mathbb{Q}$ 上既約であることを確かめる。

素数 $p=3$ でアイゼンシュタインの判定法を使う。$f(x)$ の係数は、最高次から順に $1,-3,3,-3$ である。
- 最高次の係数 $1$ は $3$ で割り切れない。
- それ以外の係数 $-3,3,-3$ はすべて $3$ で割り切れる。
- 定数項 $-3$ は $3^2=9$ で割り切れない。

よってアイゼンシュタインの判定法により、$f(x)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

（別の確かめ方：$f(x)$ は $3$ 次式なので、$\mathbb{Q}$ 上で可約なら $1$ 次の因数、つまり有理数の根をもつ。有理根の候補は $\pm 1,\pm 3$ であるが、$f(1)=-2$、$f(-1)=-10$、$f(3)=6$、$f(-3)=-66$ となり、どれも $0$ でない。よって既約である。）

手順 3：最小多項式を決める。

$\alpha$ の最小多項式 $p(x)$ は、$\alpha$ を根にもつ $\mathbb{Q}$ 係数の多項式をすべて割り切る。特に $p(x)$ は $f(x)$ を割り切る。$f(x)$ は既約なので、$p(x)$ は定数倍を除いて $f(x)$ に一致する。$f(x)$ はモニックなので $p(x)=f(x)$ である。

$$p(x)=x^3-3x^2+3x-3$$

$\beta =\sqrt[3]{2}$ とおくと $\alpha =1+\beta$ で、$\beta =\alpha -1$ である。${\beta }^3=2$ より $(\alpha -1{)}^3=2$ となる。展開すると ${\alpha }^3-3{\alpha }^2+3\alpha -1-2=0$、すなわち ${\alpha }^3-3{\alpha }^2+3\alpha -3=0$ である。よって $p(x)=x^3-3x^2+3x-3$ の候補を得る。

既約性: $p(x)$ は素数 $3$ について、最高次以外の係数 $-3,3,-3$ がすべて $3$ の倍数で、定数項 $-3$ は $9$ の倍数でない。したがってアイゼンシュタインの判定法により $\mathbb{Q}$ 上既約である。$p(x)$ はモニックで $\alpha$ を根にもつので、最小多項式である。

検算: ${\beta }^3=2$ なので ${\beta }^3=(\alpha -1{)}^3={\alpha }^3-3{\alpha }^2+3\alpha -1=2$ となり、$p(\alpha )=0$ が確かめられる。数値でも、$\alpha \approx 2.26$ のとき ${\alpha }^3\approx 11.54$、$3{\alpha }^2\approx 15.33$、$3\alpha \approx 6.78$ なので、$11.54-15.33+6.78-3\approx 0$ である。