代数学の問題

手順1：$\alpha$ を根にもつ有理数係数の多項式を作る。

$\alpha =\sqrt{1+\sqrt{3}}$ の両辺を 2 乗すると
$${\alpha }^2=1+\sqrt{3}$$
となる。根号を含む項だけが右辺に残るように $1$ を移項すると
$${\alpha }^2-1=\sqrt{3}$$
である。もう一度両辺を 2 乗すると
$$({\alpha }^2-1{)}^2=3$$
となる。左辺を展開すると ${\alpha }^4-2{\alpha }^2+1=3$ なので
$${\alpha }^4-2{\alpha }^2-2=0$$
が成り立つ。よって $\alpha$ は有理数係数のモニック多項式
$$f(x)=x^4-2x^2-2$$
の根である。

手順2：$f(x)$ が $\mathbb{Q}$ 上既約であることを確かめる。

$f(x)$ にアイゼンシュタインの判定法を素数 $p=2$ で適用する。$f(x)$ の係数は次のとおりである。
- 最高次 $x^4$ の係数：$1$（$2$ で割り切れない）
- $x^3$ の係数：$0$
- $x^2$ の係数：$-2$
- $x$ の係数：$0$
- 定数項：$-2$

最高次以外の係数 $0,-2,0,-2$ はすべて $2$ で割り切れる。また定数項 $-2$ は $2^2=4$ で割り切れない。したがってアイゼンシュタインの判定法の条件がすべて満たされ、$f(x)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

手順3：結論。

$\alpha$ の最小多項式 $p(x)$ は $f(x)$ を割り切る。$f(x)$ は既約なので、その約数は定数か $f(x)$ の定数倍に限られる。$p(x)$ も $f(x)$ もモニックだから $p(x)=f(x)$ である。よって
$$p(x)=x^4-2x^2-2$$
である。

${\alpha }^2=1+\sqrt{3}$ より $({\alpha }^2-1{)}^2=3$。展開すると ${\alpha }^4-2{\alpha }^2+1=3$、すなわち ${\alpha }^4-2{\alpha }^2-2=0$。よって $\alpha$ は $f(x)=x^4-2x^2-2$ の根である。

既約性：$f$ は素数 2 についてアイゼンシュタインの判定法の条件を満たす。最高次の係数 1 は 2 で割れず、他の係数 $0,-2,0,-2$ はすべて 2 で割れ、定数項 $-2$ は $4$ で割れない。したがって $f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

また $f$ はモニックで $\alpha$ を根にもつ。よって $f$ が最小多項式であり、$p(x)=x^4-2x^2-2$。

検算：${\alpha }^2=1+\sqrt{3}$、${\alpha }^4=(1+\sqrt{3}{)}^2=4+2\sqrt{3}$。したがって ${\alpha }^4-2{\alpha }^2-2=4+2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}-2=0$。