代数学の問題

拡大次数の決定　$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{3})$ とする。$x^2-2$ と $x^3-3$ はアイゼンシュタインの判定法（素数 $2$, $3$）により $\mathbb{Q}$ 上既約なので、$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$、$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=3$ である。どちらも $L$ の部分体なので、拡大次数の積の公式より $2$ と $3$ はともに $[L:\mathbb{Q}]$ を割る。よって $6\mid [L:\mathbb{Q}]$。一方、$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})(\sqrt{2})$ であり、$\sqrt{2}$ は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$ 上で $x^2-2$ の根なので $[L:\mathbb{Q}]\le 3\cdot 2=6$。したがって $[L:\mathbb{Q}]=6$。

次に $\mathbb{Q}(\alpha )=L$ を示す。$\alpha \in L$ は明らか。$\alpha -\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}$ の両辺を $3$ 乗すると
$${\alpha }^3-3\sqrt{2}{\alpha }^2+6\alpha -2\sqrt{2}=3$$
となり、整理して
$${\alpha }^3+6\alpha -3=\sqrt{2}(3{\alpha }^2+2).(1)$$
$\alpha$ は実数なので $3{\alpha }^2+2>0$ であり、$\sqrt{2}=\frac{{\alpha }^3+6\alpha -3}{3{\alpha }^2+2}\in \mathbb{Q}(\alpha )$。よって $\sqrt[3]{3}=\alpha -\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\alpha )$ で、$\mathbb{Q}(\alpha )=L$。ゆえに $d=6$。

最小多項式　$(1)$ の両辺を $2$ 乗すると
$${\alpha }^6+12{\alpha }^4-6{\alpha }^3+36{\alpha }^2-36\alpha +9=2(9{\alpha }^4+12{\alpha }^2+4)=18{\alpha }^4+24{\alpha }^2+8.$$
よって $\alpha$ は
$$q(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1$$
の根である。$q(x)$ は最高次の係数が $1$ の $6$ 次式で、$\alpha$ の最小多項式の次数は $d=6$ なので、$p(x)=q(x)$ である。

$p(1)$ の計算
$$p(1)=1-6-6+12-36+1=-34.$$
（検算：$p(x)$ の根は $\pm \sqrt{2}+{\omega }^k\sqrt[3]{3}$（$\omega =e^{2\pi i/3}$, $k=0,1,2$）で、$p(1)=\prod (1-{\alpha }_i)$。符号を固定すると ${\prod }_k(a-{\omega }^k\sqrt[3]{3})=a^3-3$（$a=1\mp \sqrt{2}$）。$(1\mp \sqrt{2}{)}^3=7\mp 5\sqrt{2}$ より $p(1)=(4-5\sqrt{2})(4+5\sqrt{2})=16-50=-34$。）

以上より $(d,p(1))=(6,-34)$。

$\alpha -\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}$ の両辺を3乗すると ${\alpha }^3-3\sqrt{2}{\alpha }^2+6\alpha -2\sqrt{2}=3$。
よって ${\alpha }^3+6\alpha -3=\sqrt{2}(3{\alpha }^2+2)$。
両辺を2乗すると $(x^3+6x-3{)}^2=2(3x^2+2{)}^2$ が $x=\alpha$ で成り立つ。
左辺は $x^6+12x^4-6x^3+36x^2-36x+9$、右辺は $18x^4+24x^2+8$。
差をとって $f(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1$ を得る。

$f$ が既約であることの確認：$\alpha$ の共役は $\pm \sqrt{2}+{\omega }^k\sqrt[3]{3}$ の6個で、互いに異なる。
$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\omega ,\sqrt[3]{3})$ のガロア群は $\sqrt{2}\mapsto \pm \sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}\mapsto {\omega }^k\sqrt[3]{3}$ を独立に動かせる。
そのため、この6個の共役は $\alpha$ のガロア群による軌道に含まれる。
したがって $\alpha$ の次数は6で、最小多項式は $f$ である。

$d=6$、$p(x)=f(x)$。
$p(1)=1-6-6+12-36+1=-34$。