代数学の問題

手順 1：$f$ が既約であることを確かめる。
$f$ は $3$ 次式なので、${\mathbb{F}}_3$ 上で可約なら必ず $1$ 次因数をもち、${\mathbb{F}}_3$ に根をもつ（因数定理）。そこで $x=0,1,2$ を代入すると
$$f(0)=1,f(1)=1+2+1=4\equiv 1,f(2)=8+4+1=13\equiv 1(\mathrm{mod}3)$$
となり、どれも $0$ ではない。よって $f$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上の $3$ 次既約多項式である。

手順 2：$K$ の元の個数を求める。
$f$ が $3$ 次既約なので、$K={\mathbb{F}}_3[x]/(f)$ は体である。$K$ の元は余りとして $a+bx+c{x}^2$（$a,b,c\in {\mathbb{F}}_3$）とただ一通りに表されるので、元の個数は $3^3=27$ である。すなわち $K\cong {\mathbb{F}}_{27}$。

手順 3：乗法群の構造を使う。
有限体の乗法群は巡回群なので、$K^{\times }$ は位数 $27-1=26$ の巡回群である。位数 $n$ の巡回群の生成元の個数は $\phi (n)$ だから、求める個数は
$$\phi (26)=\phi (2)\phi (13)=1\cdot 12=12.$$

よって答えは $12$ 個である。

まず $f(x)=x^3+2x+1$ が ${\mathbb{F}}_3$ 上既約であることを確かめる。$f$ は 3 次式なので、既約であることと ${\mathbb{F}}_3$ に根をもたないことは同値である。
$f(0)=1$、$f(1)=1+2+1=4\equiv 1$、$f(2)=8+4+1=13\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ となり、$f$ は根をもたない。よって $f$ は既約である。

既約なので $(f)$ は極大イデアルであり、$K={\mathbb{F}}_3[x]/(f)$ は体になる。$K$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上 3 次元なので、元の個数は $3^3=27$ である。
有限体の乗法群は巡回群なので、$K^{\times }$ は位数 $26$ の巡回群である。
位数 $n$ の巡回群の生成元の個数は $\phi (n)$ である。$26=2\cdot 13$ なので $\phi (26)=\phi (2)\phi (13)=1\cdot 12=12$。
よって原始元の個数は $12$ である。

検算として、位数 $26$ の巡回群の元 $g^k$ が生成元になる条件は $\gcd (k,26)=1$ である。$1\le k\le 25$ のうち 2 の倍数 12 個と 13 の倍数 1 個を除くと $25-12-1=12$ となり、一致する。