代数学の問題

手順 1：$K$ の元の個数を求める。
$f(x)$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上の $4$ 次既約多項式なので、$K={\mathbb{F}}_2[x]/(f(x))$ は体になる。$K$ の各元は、$x$ の剰余類を $\alpha$ として
$$a_0+a_1\alpha +a_2{\alpha }^2+a_3{\alpha }^3(a_0,a_1,a_2,a_3\in {\mathbb{F}}_2)$$
とただ 1 通りに表せる。各係数の選び方は $2$ 通りなので、積の法則より $K$ の元の個数は $2^4=16$ である。

手順 2：$K^{\times }$ の構造を調べる。
$K^{\times }$ は $0$ 以外の元全体なので、位数は $16-1=15$ である。有限体の乗法群は巡回群であるから、
$$K^{\times }\cong \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$$
が成り立つ。

手順 3：生成元を数える。
巡回群 $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ の元 $k$ の位数は $\frac{15}{\gcd (k,15)}$ なので、$k$ が生成元（位数 $15$）であるのは $\gcd (k,15)=1$ のときである。その個数はオイラー関数を用いて
$$\phi (15)=\phi (3)\phi (5)=2\times 4=8$$
となる。

したがって、$K^{\times }$ の生成元の個数は $8$ である。

$f(x)$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上既約なので、$K={\mathbb{F}}_2[x]/(f(x))$ は元の個数が $2^4=16$ の体である。よって $K^{\times }$ は位数 $15$ の乗法群である。有限体の乗法群は巡回群なので、$K^{\times }$ は位数 $15$ の巡回群である。位数 $n$ の巡回群の生成元の個数は $\phi (n)$ なので、求める個数は $\phi (15)=\phi (3)\phi (5)=2\cdot 4=8$ である。

確認として、$x$ が原始元かを調べる。$x^4=x+1$ より $x^5=x^2+x$、$x^3\ne 1$ である。$x^5=x^2+x\ne 1$ なので、$x$ の位数は $15$ の約数のうち $1,3,5$ のいずれでもなく、$15$ である。したがって原始元が存在し、生成元の個数は $\phi (15)=8$ で矛盾しない。