代数学の問題

手順 1：$K$ が体であることと元の個数を確かめる。

$f(x)=x^2+2$ は $2$ 次式なので、${\mathbb{F}}_5$ に根をもたなければ既約である。$x=0,1,2,3,4$ を代入すると
$$f(0)=2,f(1)=3,f(2)=6\equiv 1,f(3)=11\equiv 1,f(4)=18\equiv 3(\mathrm{mod}5)$$
となり、どれも $0$ ではない。よって $f$ は ${\mathbb{F}}_5$ 上の $2$ 次既約多項式であり、$K={\mathbb{F}}_5[x]/(f)$ は元の個数が $5^2=25$ の体になる。（$K$ の元は $a+bx$（$a,b\in {\mathbb{F}}_5$）と一意に表されるので、$5\times 5=25$ 個である。）

手順 2：乗法群の構造を使う。

有限体の乗法群は巡回群であるから、$K^{\times }$ は位数 $25-1=24$ の巡回群である。

手順 3：生成元の個数を数える。

位数 $n$ の巡回群の生成元は位数がちょうど $n$ の元であり、その個数は $\phi (n)$ である。$24=2^3\cdot 3$ より
$$\phi (24)=24\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)=24\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=8.$$

したがって、$K^{\times }$ の生成元の個数は $8$ である。

まず $x^2+2$ が ${\mathbb{F}}_5$ 上既約であることを確かめる。$x^2+2=0$ は $x^2=-2=3$ と同値である。${\mathbb{F}}_5$ の平方は $0^2=0,1^2=1,2^2=4,3^2=4,4^2=1$ なので、取りうる値は $\{0,1,4\}$ であり、$3$ は含まれない。したがって $x^2+2$ は ${\mathbb{F}}_5$ に根を持たない。次数が $2$ なので既約であり、$K$ は元の個数 $5^2=25$ の体 ${\mathbb{F}}_{25}$ である。

有限体の乗法群は巡回群なので、$K^{\times }$ は位数 $24$ の巡回群である。位数 $n$ の巡回群の生成元の個数は $\phi (n)$ である。よって求める個数は $\phi (24)=\phi (8)\phi (3)=4\cdot 2=8$ である。

検算として、位数 $24$ の巡回群の生成元は、指数が $24$ と互いに素な元 $g^k$ である。$1\le k\le 24$ で $24$ と互いに素なのは $k=1,5,7,11,13,17,19,23$ の $8$ 個であり、$\phi (24)=8$ と一致する。