代数幾何の問題

方針. 有限体上の楕円曲線の有理点群は $E({\mathbb{F}}_q)\cong \mathbb{Z}/n_1\times \mathbb{Z}/n_2$（$n_1\mid n_2$, $n_1\mid q-1$）の形をしている。2 等分点（位数 $2$ の点）の個数から $n_1$ を決め、群の構造を決定してから、位数 $6$ の元を数える。

1. 2 等分点を求める. 位数 $2$ の点は $y=0$ となる点、すなわち $x^3-4x=0$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 内の根に対応する点である。
$$x^3-4x=x(x-2)(x+2)$$
より、根は $x=0,2,-2\equiv 9$ の $3$ 個で、いずれも ${\mathbb{F}}_{11}$ に属し互いに異なる。よって位数 $2$ の点は $(0,0),(2,0),(9,0)$ の $3$ 個であり、$O$ と合わせて
$$E({\mathbb{F}}_{11})[2]=\{O,(0,0),(2,0),(9,0)\}\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$$
となる。

2. 群の構造を決める. $E({\mathbb{F}}_{11})\cong \mathbb{Z}/n_1\times \mathbb{Z}/n_2$（$n_1\mid n_2$）とすると、位数 $2$ の元が $3$ 個あることから $n_1$ も $n_2$ も偶数である（$n_1$ が奇数なら位数 $2$ の元は $1$ 個しかない）。$n_1{n}_2=12$, $n_1\mid n_2$, $n_1$ が偶数となるのは $n_1=2,n_2=6$ だけである（$n_1\mid q-1=10$ もみたす）。よって
$$E({\mathbb{F}}_{11})\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/6.$$

3. 位数 $6$ の元を数える. 元 $(a,b)\in \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/6$ の位数は $\mathrm{lcm}(\mathrm{ord}a,\mathrm{ord}b)$ である。$\mathrm{ord}a\in \{1,2\}$ なので、位数が $6$ になるのは次の場合である。
- $\mathrm{ord}b=6$（$b=1,5$ の $2$ 個）で、$a$ は任意（$2$ 個）: $2\times 2=4$ 個
- $\mathrm{ord}b=3$（$b=2,4$ の $2$ 個）で、$\mathrm{ord}a=2$（$a=1$ の $1$ 個）: $2\times 1=2$ 個

合計 $4+2=6$ 個。

（別解: $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/6\cong (\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2)\times \mathbb{Z}/3$ で、位数 $6$ の元は「位数 $2$ の成分 $3$ 個」と「位数 $3$ の成分 $\phi (3)=2$ 個」の組なので $3\times 2=6$ 個。）

よって答えは $6$ である。

$f(x)=x^3-4x$ とおく。${\mathbb{F}}_{11}$ の平方剰余は $\{1,3,4,5,9\}$。$x=0,\dots ,10$ で $f(x)$ を計算すると、$f(0)=0,f(1)=8,f(2)=0,f(3)=4,f(4)=4,f(5)=6,f(6)=5,f(7)=7,f(8)=7,f(9)=0,f(10)=3$。よって $y=0$ となる点は $x=0,2,9$ の 3 点、$f(x)$ が非零平方剰余となる $x=3,4,6,10$ で各 2 点、合計 $3+8=11$ 個のアフィン点と $O$ で $\#E({\mathbb{F}}_{11})=12$ となり、問題文と一致する。\n\n位数 2 の元は $y=0$ の 3 点 $(0,0),(2,0),(9,0)$ なので、2-ねじれ部分は $(\mathbb{Z}/2{)}^2$ を含む。位数 12 のアーベル群で $(\mathbb{Z}/2{)}^2$ を含むものは $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/6\cong (\mathbb{Z}/2{)}^2\times \mathbb{Z}/3$ のみ。\n\nこの群の元は (2-部分, 3-部分) の組で、位数がちょうど 6 となるのは 2-部分が単位元でない（$3$ 通り）かつ 3-部分が単位元でない（$2$ 通り）ときなので $3\times 2=6$ 個。\n\n検算: 位数 1 が 1 個、位数 2 が 3 個、位数 3 が 2 個、位数 6 が 6 個で合計 $1+3+2+6=12$。