代数幾何の問題

Step 0: 条件が斉次座標の取り方によらないこと. $\lambda \in {\mathbb{F}}_p^{\times }$ に対し $(\lambda Z{)}^3={\lambda }^3{Z}^3$、$F$ は 3 次斉次（または $0$）なので $F(\lambda X,\lambda Y)={\lambda }^{3}F(X,Y)$ である。${\lambda }^3\ne 0$ だから、$Z^3=F(X,Y)$ と $(\lambda Z{)}^3=F(\lambda X,\lambda Y)$ は同値である。よって $C({\mathbb{F}}_p)$ は well-defined である。

Step 1: 3 乗写像 ${\mathbb{F}}_p\to {\mathbb{F}}_p,t\mapsto t^3$ が全単射であること. ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ は位数 $p-1$ の可換群で、$\phi (t)=t^3$ は ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ の準同型である（$(st{)}^3=s^3{t}^3$）。$t\in \ker \phi$、すなわち $t^3=1$ とすると、$t$ の位数は $3$ を割り切り、ラグランジュの定理より $p-1$ も割り切る。$p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ より $p-1\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので $3\nmid p-1$ であり、$\gcd (3,p-1)=1$ である。したがって $t$ の位数は $1$、すなわち $t=1$ で、$\phi$ は単射である。${\mathbb{F}}_p^{\times }$ は有限集合なので、単射な自己写像 $\phi$ は全単射である。さらに $0^3=0$ であり、$t\ne 0$ なら $t^3\ne 0$（体に零因子はない）なので、$t\mapsto t^3$ は ${\mathbb{F}}_p$ 全体の全単射である。以下、$c\in {\mathbb{F}}_p$ に対し $t^3=c$ をみたす唯一の $t\in {\mathbb{F}}_p$ を $\sqrt[3]{c}$ と書く。

Step 2: 写像 $\pi :C({\mathbb{F}}_p)\to {\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_p)$ の定義. $[X:Y:Z]\in C({\mathbb{F}}_p)$ に対して $\pi ([X:Y:Z])=[X:Y]$ と定める。これが意味をもつことを示す。
- $(X,Y)\ne (0,0)$ であること：仮に $X=Y=0$ とすると、$F$ は 3 次斉次式または $0$ なので定数項をもたず $F(0,0)=0$、よって $Z^3=0$ となり、体に零因子がないので $Z=0$。これは $(X,Y,Z)\ne (0,0,0)$ に反する。
- 代表の取り方によらないこと：$(X,Y,Z)$ を $(\lambda X,\lambda Y,\lambda Z)$（$\lambda \ne 0$）に取り替えても $[\lambda X:\lambda Y]=[X:Y]$ である。

Step 3: $\pi$ が単射であること. $P=[X:Y:Z],P^{\prime }=[X^{\prime }:Y^{\prime }:Z^{\prime }]\in C({\mathbb{F}}_p)$ が $[X:Y]=[X^{\prime }:Y^{\prime }]$ をみたすとする。ある $\lambda \in {\mathbb{F}}_p^{\times }$ で $(X^{\prime },Y^{\prime })=(\lambda X,\lambda Y)$ と書けるので、$P^{\prime }$ の代表を $({\lambda }^{-1}{X}^{\prime },{\lambda }^{-1}{Y}^{\prime },{\lambda }^{-1}{Z}^{\prime })=(X,Y,{\lambda }^{-1}{Z}^{\prime })$ に取り替えて、$X^{\prime }=X,Y^{\prime }=Y$ としてよい（Step 0 より取り替えても $C$ の条件は保たれる）。すると $Z^3=F(X,Y)=Z^{\prime 3}$ であり、Step 1 の単射性より $Z=Z^{\prime }$。よって $P=P^{\prime }$ である。

Step 4: $\pi$ が全射であること. $[X:Y]\in {\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_p)$ を任意にとり、$Z=\sqrt[3]{F(X,Y)}$ とおく（Step 1 より存在する）。$(X,Y)\ne (0,0)$ なので $(X,Y,Z)\ne (0,0,0)$ で、$Z^3=F(X,Y)$ だから $[X:Y:Z]\in C({\mathbb{F}}_p)$ であり、$\pi ([X:Y:Z])=[X:Y]$ である。

Step 5: $\#{\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_p)=p+1$. $Y\ne 0$ の点は $[X:Y]=[X/Y:1]$ と一意に表され、$x\in {\mathbb{F}}_p$ と $[x:1]$ が 1 対 1 に対応するので $p$ 個ある。$Y=0$ の点は $X\ne 0$ より $[X:0]=[1:0]$ の 1 個である。よって $\#{\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_p)=p+1$。

結論. Step 3, 4 より $\pi$ は全単射なので、Step 5 と合わせて
$$\#C({\mathbb{F}}_p)=\#{\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_p)=p+1$$
であり、これは $F$ の取り方によらない。