代数幾何の問題

方針. まず ${\mathbb{F}}_q^4$ の中で方程式 $xw=yz$ の解の個数 $N$ を数え、次に $0$ でない解と射影的な点の対応を使って $\#Q({\mathbb{F}}_q)$ を求める。

補題. $c\in {\mathbb{F}}_q$ に対し、$M(c)=\#\{(s,t)\in {\mathbb{F}}_q^2\mid st=c\}$ とおくと
$$M(c)=\{\begin{array}{ll}2q-1& (c=0)\\ q-1& (c\ne 0)\end{array}$$
である。

(証明) $c=0$ のとき: 体には零因子がないので、$st=0$ は $s=0$ または $t=0$ と同値である。$s=0$ となる組は $q$ 個、$t=0$ となる組は $q$ 個で、両方を満たすのは $(0,0)$ の 1 個だけなので、$M(0)=q+q-1=2q-1$。

$c\ne 0$ のとき: $st=c$ なら $s\ne 0$ である（$s=0$ なら $st=0\ne c$）。逆に $s\ne 0$ を任意に固定すると、$s$ は可逆なので $t=s^{-1}c$ がただ 1 つ決まる。よって解は $s\in {\mathbb{F}}_q^{\times }$ と 1 対 1 に対応し、$M(c)=q-1$。(補題の証明終わり)

Step 1: アフィンの解の個数. $N=\#\{(x,y,z,w)\in {\mathbb{F}}_q^4\mid xw=yz\}$ を求める。$(y,z)\in {\mathbb{F}}_q^2$ を固定すると、$(x,w)$ についての条件は $xw=yz$ なので、その解は $M(yz)$ 個である。したがって
$$N=\sum _{(y,z)\in {\mathbb{F}}_q^2}M(yz).$$
補題より $yz=0$ となる $(y,z)$ は $M(0)=2q-1$ 個、$yz\ne 0$ となる $(y,z)$ は残りの $q^2-(2q-1)=(q-1{)}^2$ 個である。再び補題を使って
$$N=(2q-1)\cdot M(0)+(q-1{)}^2\cdot (q-1)=(2q-1{)}^2+(q-1{)}^3.$$
展開すると
$$N=(4q^2-4q+1)+(q^3-3q^2+3q-1)=q^3+q^2-q.$$

Step 2: 射影的な点との対応. 方程式 $XW=YZ$ は斉次 2 次なので、$v=(x,y,z,w)$ が解なら、任意の $\lambda \in {\mathbb{F}}_q^{\times }$ について $(\lambda x)(\lambda w)={\lambda }^{2}xw={\lambda }^{2}yz=(\lambda y)(\lambda z)$ より $\lambda v$ も解である。よって $Q({\mathbb{F}}_q)$ の点が方程式を満たすかどうかは代表の取り方によらず、$Q({\mathbb{F}}_q)$ は $0$ でない解全体 $S=\{v\in {\mathbb{F}}_q^4\setminus \{0\}\mid v\text{ は }xw=yz\text{ の解}\}$ を同値関係 $\sim$ で割った集合である。

各同値類 $\{\lambda v\mid \lambda \in {\mathbb{F}}_q^{\times }\}$ はちょうど $q-1$ 個の元からなる。実際、$\lambda v=\mu v$ なら $(\lambda -\mu )v=0$ で、$v$ の $0$ でない成分を比べると $\lambda =\mu$ となるので、$\lambda \mapsto \lambda v$ は ${\mathbb{F}}_q^{\times }$ から同値類への全単射である。

$0$ ベクトルは解なので $\#S=N-1$ であり、$S$ は $q-1$ 個ずつの同値類に交わりなく分かれるから
$$\#Q({\mathbb{F}}_q)=\frac{N-1}{q-1}=\frac{q^3+q^2-q-1}{q-1}.$$
分子は $q^3+q^2-q-1=q^2(q+1)-(q+1)=(q+1)(q^2-1)=(q+1{)}^2(q-1)$ と因数分解できるので
$$\#Q({\mathbb{F}}_q)=(q+1{)}^2.$$

結論. 2 次曲面 $Q:XW=YZ$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点の個数は $(q+1{)}^2$ である。$■$