代数幾何の問題

$k$ を体（代数閉体とは限らない）とし、整数 $d\ge 0$ に対して $S_d$ を $k[X,Y,Z]$ の $d$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする。$S_d$ は単項式 $X^a{Y}^b{Z}^c$（$a,b,c\ge 0$, $a+b+c=d$）を基底にもち、${\dim }_k{S}_d=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)$ であることは用いてよい。

斉次多項式 $F$ と点 $P\in {\mathbb{P}}^2(k)$ について、$P$ の斉次座標の代表 $p\in k^3\setminus \{0\}$ をとって $F(p)=0$ となるとき「$F$ は $P$ を通る」といい、$F(P)=0$ と書く（この条件は代表の取り方によらない）。$F(P)\ne 0$ はこの否定を表す。

整数 $n$ は $1\le n\le d+1$ をみたすとし、$P_1,\dots ,P_n\in {\mathbb{P}}^2(k)$ を互いに相異なる $n$ 点とする。
$$I=\{F\in S_d\mid F(P_1)=\cdots =F(P_n)=0\}$$
とおくとき、$I$ は $S_d$ の部分空間であって
$${\dim }_{k}I=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)-n$$
であることを証明せよ。

$S=\mathbb{C}[z_{00},z_{01},z_{02},z_{10},z_{11},z_{12}]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}^5$ の斉次座標環とみなす。$I_X\subset S$ を行列
$$\left(\begin{array}{ccc}{z}_{00}& z_{01}& z_{02}\\ z_{10}& z_{11}& z_{12}\end{array}\right)$$
の $2$ 次小行列式全体で生成されるイデアルとする。$I_X$ はセグレ埋め込み ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^5$，$([x_0:x_1],[y_0:y_1:y_2])\mapsto [z_{ij}]=[x_i{y}_j]$ の像 $X$ の斉次素イデアルであり，$S/I_X$ の次数 $d$ 部分は $x$ について $d$ 次かつ $y$ について $d$ 次の双斉次多項式全体の空間と同型である（この事実は用いてよい）。

さらに
$$Q=z_{00}^2+z_{11}^2+z_{12}^2$$
とおき，$J=I_X+(Q)$ とする。次数付き $S$ 加群 $S/J$ のヒルベルト多項式 $P(t)$（すなわち十分大きな整数 $d$ に対して $P(d)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/J{)}_d$ をみたす $t$ の多項式）を求めよ。

$S=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とし、
$$Q_1=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2,Q_2=x_0^2+2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+5x_4^2$$
とおく。$I=(Q_1,Q_2)\subset S$ とし、$X=V(I)\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^4$ とする。次数つき環 $S/I$ の次数 $t$ の斉次部分の $\mathbb{C}$ 上の次元を $h(t)$ とするとき、十分大きい整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ となる多項式 $P(t)$（$X$ のヒルベルト多項式）を求めよ。ただし $Q_1,Q_2$ は $S$ の正則列をなす（$X$ は完全交差である）ことを用いてよい。

$p$ を $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ をみたす素数とし、$F(X,Y)\in {\mathbb{F}}_p[X,Y]$ を 3 次斉次多項式または零多項式とする。射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の曲線
$$C:Z^3=F(X,Y)$$
の ${\mathbb{F}}_p$ 有理点の集合を
$$C({\mathbb{F}}_p)=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_p)\mid Z^3=F(X,Y)\}$$
と定める（両辺はともに 3 次斉次なので、この条件は斉次座標の取り方によらない）。このとき、$F$ の取り方によらず
$$\#C({\mathbb{F}}_p)=p+1$$
であることを証明せよ。ただし、有限群の元の位数は群の位数を割り切ること（ラグランジュの定理）は用いてよい。

$S=\mathbb{C}[x,y,z]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標環とみなす。$4$ 次斉次多項式 $F=x^4+y^4+z^4$ が定める平面曲線 $C:F=0$ の斉次座標環 $S/(F)$ を考え、整数 $t\ge 0$ に対して $h(t)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/(F){)}_t$ とおく（$(S/(F){)}_t$ は次数 $t$ の部分）。十分大きいすべての整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ をみたす $t$ の多項式 $P(t)$（$C$ のヒルベルト多項式）を求めよ。