代数幾何の問題

$R=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とする。$F\in R$ を既約な $2$ 次斉次多項式、$G\in R$ を $F$ で割り切れない $3$ 次斉次多項式とし、次数つき環 $S=R/(F,G)$ を考える。整数 $m\ge 0$ に対して $h_S(m)={\dim }_{\mathbb{C}}{S}_m$（$S_m$ は $S$ の次数 $m$ の斉次成分）とおくと、十分大きいすべての $m$ に対して $h_S(m)=P(m)$ となる多項式 $P$（$S$ のヒルベルト多項式）がただ 1 つ存在する。$P(m)$ を $m$ の式で求めよ。

$S=\mathbb{C}[x,y,z]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標環とみなす。$4$ 次斉次多項式 $F=x^4+y^4+z^4$ が定める平面曲線 $C:F=0$ の斉次座標環 $S/(F)$ を考え、整数 $t\ge 0$ に対して $h(t)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/(F){)}_t$ とおく（$(S/(F){)}_t$ は次数 $t$ の部分）。十分大きいすべての整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ をみたす $t$ の多項式 $P(t)$（$C$ のヒルベルト多項式）を求めよ。

$S=\mathbb{C}[z_{00},z_{01},z_{02},z_{10},z_{11},z_{12}]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}^5$ の斉次座標環とみなす。$I_X\subset S$ を行列
$$\left(\begin{array}{ccc}{z}_{00}& z_{01}& z_{02}\\ z_{10}& z_{11}& z_{12}\end{array}\right)$$
の $2$ 次小行列式全体で生成されるイデアルとする。$I_X$ はセグレ埋め込み ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^5$，$([x_0:x_1],[y_0:y_1:y_2])\mapsto [z_{ij}]=[x_i{y}_j]$ の像 $X$ の斉次素イデアルであり，$S/I_X$ の次数 $d$ 部分は $x$ について $d$ 次かつ $y$ について $d$ 次の双斉次多項式全体の空間と同型である（この事実は用いてよい）。

さらに
$$Q=z_{00}^2+z_{11}^2+z_{12}^2$$
とおき，$J=I_X+(Q)$ とする。次数付き $S$ 加群 $S/J$ のヒルベルト多項式 $P(t)$（すなわち十分大きな整数 $d$ に対して $P(d)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/J{)}_d$ をみたす $t$ の多項式）を求めよ。

$k$ を体、$n\ge 1$ を整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を通常の次数付けをもつ多項式環、$S_m$ を $m$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする（$m<0$ なら $S_m=0$）。$F\in S$ を次数 $d\ge 1$ の $0$ でない斉次多項式とし、$I=(F)$ を $F$ が生成するイデアル、$I_m=I\cap S_m$ とおく。$R=S/I$ の $m$ 次部分の次元を $h(m)={\dim }_k{S}_m-{\dim }_k{I}_m$ と定める。

このとき、$m\ge d$ をみたすすべての整数 $m$ について
$$h(m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-d}{n}\right)$$
が成り立ち、さらに右辺は $m$ の多項式として次数 $n-1$、最高次の係数 $\frac{d}{(n-1)!}$ をもつことを証明せよ。ただし ${\dim }_k{S}_m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)$（$m\ge 0$）は用いてよい。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線 $C$ と $4$ 次曲線 $D$ を
$$C:Y^3{Z}^2-X^5=0,D:X^4-Y^2{Z}^2+XY{Z}^2=0$$
で定める。$C$ は既約であることを用いてよい。点 $p$ における $C$ と $D$ の交点数を $I_p(C,D)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2,p}/(f,g)$（$f,g$ は $p$ の近くでの $C,D$ の局所方程式）で定める。$O=[0:0:1]$、$P=[0:1:0]$ とするとき、
$$(I_O(C,D),I_P(C,D),N)$$
をこの順に組で求めよ。ただし $N$ は $C\cap D$ のうち $O,P$ 以外の点の個数（相異なる点の個数）である。