代数幾何の問題

$S=\mathbb{C}[x,y,z]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標環とみなす。$4$ 次斉次多項式 $F=x^4+y^4+z^4$ が定める平面曲線 $C:F=0$ の斉次座標環 $S/(F)$ を考え、整数 $t\ge 0$ に対して $h(t)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/(F){)}_t$ とおく（$(S/(F){)}_t$ は次数 $t$ の部分）。十分大きいすべての整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ をみたす $t$ の多項式 $P(t)$（$C$ のヒルベルト多項式）を求めよ。

$S=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とし、
$$Q_1=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2,Q_2=x_0^2+2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+5x_4^2$$
とおく。$I=(Q_1,Q_2)\subset S$ とし、$X=V(I)\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^4$ とする。次数つき環 $S/I$ の次数 $t$ の斉次部分の $\mathbb{C}$ 上の次元を $h(t)$ とするとき、十分大きい整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ となる多項式 $P(t)$（$X$ のヒルベルト多項式）を求めよ。ただし $Q_1,Q_2$ は $S$ の正則列をなす（$X$ は完全交差である）ことを用いてよい。

$S=\mathbb{C}[z_{00},z_{01},z_{02},z_{10},z_{11},z_{12}]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}^5$ の斉次座標環とみなす。$I_X\subset S$ を行列
$$\left(\begin{array}{ccc}{z}_{00}& z_{01}& z_{02}\\ z_{10}& z_{11}& z_{12}\end{array}\right)$$
の $2$ 次小行列式全体で生成されるイデアルとする。$I_X$ はセグレ埋め込み ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^5$，$([x_0:x_1],[y_0:y_1:y_2])\mapsto [z_{ij}]=[x_i{y}_j]$ の像 $X$ の斉次素イデアルであり，$S/I_X$ の次数 $d$ 部分は $x$ について $d$ 次かつ $y$ について $d$ 次の双斉次多項式全体の空間と同型である（この事実は用いてよい）。

さらに
$$Q=z_{00}^2+z_{11}^2+z_{12}^2$$
とおき，$J=I_X+(Q)$ とする。次数付き $S$ 加群 $S/J$ のヒルベルト多項式 $P(t)$（すなわち十分大きな整数 $d$ に対して $P(d)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/J{)}_d$ をみたす $t$ の多項式）を求めよ。

${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標を $[x:y:z]$、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6$ の斉次座標を $[w_0:\cdots :w_6]$ とし、有理写像
$$\phi :{\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2⇢{\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6,[x:y:z]\mapsto [x^{2}y:x^{2}z:x{y}^2:xyz:x{z}^2:y^{2}z:y{z}^2]$$
を考える（$x,y,z$ の $3$ 次単項式のうち $x^3,y^3,z^3$ 以外の $7$ 個を並べたもの）。$\phi$ が定義される点全体の像の（ザリスキー位相での）閉包を $X\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6$ とし、$X$ に被約な閉部分スキームの構造を入れる。$I_X\subset S=\mathbb{C}[w_0,\dots ,w_6]$ を $X$ の斉次イデアルとするとき、$X$ のヒルベルト多項式 $P_X(n)$（$n$ が十分大きい整数のとき ${\dim }_{\mathbb{C}}(S/I_X{)}_n$ と一致する $n$ の多項式）を求めよ。

複素数体 $\mathbb{C}$ 上で考える。$V={\mathbb{C}}^6$ とし、$V$ の $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G=G(2,6)$ を、プリュッカー埋め込みにより $G\subset \mathbb{P}({\bigwedge }^{2}V)\cong {\mathbb{P}}^{14}$ とみなす。$\Lambda \subset {\mathbb{P}}^{14}$ を一般の余次元 $5$ の線形部分空間（$\Lambda \cong {\mathbb{P}}^9$）とし、$X=G\cap \Lambda$（スキーム論的交わり）とおく。

次の事実を用いてよい。
- $G$ の斉次座標環 $S_G=\mathbb{C}[p_{ij}]/I_G$ は次元 $9$ の Cohen–Macaulay 整域である。
- $t\ge 0$ に対し、$S_G$ の $t$ 次部分 $(S_G{)}_t$ は ${\mathrm{GL}}_6(\mathbb{C})$ の表現として、ヤング図形 $\lambda =(t,t)$（長さ $t$ の行が $2$ 本）に対応する既約表現と同じ次元をもつ。

$X\subset \Lambda \cong {\mathbb{P}}^9$ のヒルベルト多項式 $P_X(t)$ を求めよ。