代数幾何の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数幾何

複素数体 $C$ 上で考える。 $V = C^{6}$ とし、 $V$ の $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G = G (2, 6)$ を、プリュッカー埋め込みにより $G \subset P (⋀^{2} V) ≅ P^{14}$ とみなす。 $Λ \subset P^{14}$ を一般の余次元 $5$ の線形部分空間（ $Λ ≅ P^{9}$ ）とし、 $X = G \cap Λ$ （スキーム論的交わり）とおく。

次の事実を用いてよい。
- $G$ の斉次座標環 $S_{G} = C [p_{ij}] / I_{G}$ は次元 $9$ の Cohen–Macaulay 整域である。
- $t \geq 0$ に対し、 $S_{G}$ の $t$ 次部分 $(S_{G})_{t}$ は $GL_{6} (C)$ の表現として、ヤング図形 $λ = (t, t)$ （長さ $t$ の行が $2$ 本）に対応する既約表現と同じ次元をもつ。

$X \subset Λ ≅ P^{9}$ のヒルベルト多項式 $P_{X} (t)$ を求めよ。

この問題で使うもの

射影多様体のヒルベルト多項式（説明と入口の問題）
射影多様体の次数（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $G (2, 6)$ 自身のヒルベルト関数 $dim (S_{G})_{t}$ を表現論（フック内容公式）で求め、次に超平面で切るとヒルベルト関数がどう変わるかを考える。

ヒント 2

$S_{G}$ は Cohen–Macaulay なので、 $Λ$ を定める $5$ つの $1$ 次形式は正則列になる。正則な $1$ 次元で割るとヒルベルト関数は差分 $h (t) - h (t - 1)$ に変わるので、 $P_{X} = Δ^{5} P_{G}$ となる。

ヒント 3

$P_{G} (t) = \frac{( t + 1 ) ( t + 2 ) ^{2} ( t + 3 ) ^{2} ( t + 4 ) ^{2} ( t + 5 )}{2880}$ であり、 $t = - 1, \dots, - 5$ で $0$ になる。これを使うと $P_{X} (0), P_{X} (1), P_{X} (2), P_{X} (3)$ はそれぞれ $1, 10, 40, 105$ になる。

答えと解説

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\frac{7}{3} t^{3} + \frac{7}{2} t^{2} + \frac{19}{6} t + 1

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解説を読む

1. $G$ のヒルベルト関数. フック内容公式によれば、 $GL_{n}$ のヤング図形 $λ$ に対応する既約表現の次元は $\prod_{(i, j) \in λ} \frac{n + j - i}{h ( i , j )}$ （ $h$ はフック長）である。 $n = 6$ , $λ = (t, t)$ のとき、
- 内容の積: 第 $1$ 行は $\prod_{j = 1}^{t} (5 + j) = \frac{( t + 5 )!}{5 !}$ 、第 $2$ 行は $\prod_{j = 1}^{t} (4 + j) = \frac{( t + 4 )!}{4 !}$ 。
- フック長の積: 第 $1$ 行の箱 $j$ は $t - j + 2$ 、第 $2$ 行の箱 $j$ は $t - j + 1$ なので、積は $(t + 1)! t!$ 。

よって
$f (t) := dim (S_{G})_{t} = \frac{( t + 5 )! ( t + 4 )!}{5 ! 4 ! ( t + 1 )! t !} = \frac{( t + 1 ) ( t + 2 ) ^{2} ( t + 3 ) ^{2} ( t + 4 ) ^{2} ( t + 5 )}{2880} .$
確認: $f (1) = \frac{2 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 6}{2880} = 15 = dim ⋀^{2} V$ 。さらに $f (0) = 1$ , $f (2) = \frac{3 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36 \cdot 7}{2880} = 105$ , $f (3) = \frac{4 \cdot 25 \cdot 36 \cdot 49 \cdot 8}{2880} = 490$ である。また $f$ は多項式として $f (- 1) = f (- 2) = \dots = f (- 5) = 0$ をみたす。最高次係数は $\frac{1}{2880} = \frac{14}{8 !}$ なので $de g G = 14$ である。

2. 線形切断. $Λ$ を定める $1$ 次形式を $l_{1}, \dots, l_{5}$ とする。 $Λ$ は一般なので $dim X = 3$ 、すなわち $S_{G} / (l_{1}, \dots, l_{5})$ のクルル次元は $9 - 5 = 4$ である。 $S_{G}$ は Cohen–Macaulay なので、次元を $1$ ずつ下げる斉次元の列 $l_{1}, \dots, l_{5}$ は正則列になる。正則な $1$ 次元 $l$ で割ると、完全列 $0 \to A (- 1) l A \to A / l A \to 0$ から、ヒルベルト関数は $Δ h (t) = h (t) - h (t - 1)$ に変わる。したがって $B = S_{G} / (l_{1}, \dots, l_{5})$ のヒルベルト関数は $Δ^{5} f$ である。 $X$ の斉次イデアルは $B$ を定めるイデアルの飽和であり、飽和をとってもヒルベルト多項式は変わらないので、 $P_{X} = Δ^{5} f$ （多項式としての差分）となる。

3. 値の計算. $(Δ^{5} f) (t) = \sum_{k = 0}^{5} (- 1)^{k} (k 5) f (t - k)$ と $f (- 1) = \dots = f (- 5) = 0$ を用いると、
- $P_{X} (0) = f (0) = 1$
- $P_{X} (1) = f (1) - 5 f (0) = 15 - 5 = 10$
- $P_{X} (2) = f (2) - 5 f (1) + 10 f (0) = 105 - 75 + 10 = 40$
- $P_{X} (3) = f (3) - 5 f (2) + 10 f (1) - 10 f (0) = 490 - 525 + 150 - 10 = 105$

$P_{X}$ は $3$ 次多項式なので、これら $4$ つの値で決まる。差分をとると、階差は $9, 30, 65$ 、第 $2$ 階差は $21, 35$ 、第 $3$ 階差は $14$ である。ニュートンの補間公式より
$P_{X} (t) = 1 + 9 t + \frac{21}{2} t (t - 1) + \frac{14}{6} t (t - 1) (t - 2) .$
展開すると
$\frac{7}{3} t^{3} - 7 t^{2} + \frac{14}{3} t + \frac{21}{2} t^{2} - \frac{21}{2} t + 9 t + 1 = \frac{7}{3} t^{3} + \frac{7}{2} t^{2} + \frac{19}{6} t + 1.$

4. 検算. 随伴公式より $K_{G} = O (- 6)$ なので、 $K_{X} = O_{X} (- 1)$ となり、 $X$ は次数 $14$ のファノ $3$ 次元多様体である。リーマン・ロッホと小平消滅定理から $χ (O_{X} (t)) = \frac{t ( t + 1 ) ( 2 t + 1 )}{12} \cdot 14 + 2 t + 1$ が得られ、展開すると上の結果と一致する。また $P_{X} (1) = 10 = dim Λ + 1$ とも整合する。

答え: $P_{X} (t) = \frac{7}{3} t^{3} + \frac{7}{2} t^{2} + \frac{19}{6} t + 1$

別解

$G = G (2, 6)$ は次元 $8$ 、 $K_{G} = O (- 6)$ である。 $S_{G}$ はコーエン–マコーレー環なので、一般の線形形式 $5$ 個は正則列になる。したがって $X$ の斉次座標環は $S_{G} / (ℓ_{1}, \dots, ℓ_{5})$ で、次元 $4$ の環になる。 $X$ は次元 $3$ で、随伴公式により $K_{X} = O_{X} (- 6 + 5) = O_{X} (- 1)$ となる。つまり $X$ は指数 $1$ のファノ 3 次元多様体で、 $(- K_{X})^{3} = de g G (2, 6) = 14$ （種数 $8$ の $V_{14}$ ）である。

ファノ 3 次元多様体については、リーマン–ロッホと消滅定理より
$χ (- t K) = \frac{t ( t + 1 ) ( 2 t + 1 )}{12} (- K)^{3} + 2 t + 1$
が成り立つ。 $(- K)^{3} = 14$ を代入すると
$P_{X} (t) = \frac{7 t ( t + 1 ) ( 2 t + 1 )}{6} + 2 t + 1 = \frac{7}{3} t^{3} + \frac{7}{2} t^{2} + \frac{19}{6} t + 1$ 。

検算：
- $t = 1$ のとき $P_{X} (1) = 10$ 。これは $dim ⋀^{2} V - 5 = 10$ と一致する。
- $t = 2$ のとき $P_{X} (2) = 40$ 。一方、 $(S_{G})_{2}$ の次元は $dim Sym^{2} (⋀^{2} V) - dim ⋀^{4} V = 120 - 15 = 105$ である。正則列による差分は $105 - 5 \cdot 15 + 10 \cdot 1 = 40$ となり、一致する。

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