代数幾何の問題

$S=\mathbb{C}[x,y,z]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標環とみなす。$4$ 次斉次多項式 $F=x^4+y^4+z^4$ が定める平面曲線 $C:F=0$ の斉次座標環 $S/(F)$ を考え、整数 $t\ge 0$ に対して $h(t)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/(F){)}_t$ とおく（$(S/(F){)}_t$ は次数 $t$ の部分）。十分大きいすべての整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ をみたす $t$ の多項式 $P(t)$（$C$ のヒルベルト多項式）を求めよ。

$S=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とし、
$$Q_1=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2,Q_2=x_0^2+2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+5x_4^2$$
とおく。$I=(Q_1,Q_2)\subset S$ とし、$X=V(I)\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^4$ とする。次数つき環 $S/I$ の次数 $t$ の斉次部分の $\mathbb{C}$ 上の次元を $h(t)$ とするとき、十分大きい整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ となる多項式 $P(t)$（$X$ のヒルベルト多項式）を求めよ。ただし $Q_1,Q_2$ は $S$ の正則列をなす（$X$ は完全交差である）ことを用いてよい。

$k$ を体、$n\ge 1$ を整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を通常の次数付けをもつ多項式環、$S_m$ を $m$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする（$m<0$ なら $S_m=0$）。$F\in S$ を次数 $d\ge 1$ の $0$ でない斉次多項式とし、$I=(F)$ を $F$ が生成するイデアル、$I_m=I\cap S_m$ とおく。$R=S/I$ の $m$ 次部分の次元を $h(m)={\dim }_k{S}_m-{\dim }_k{I}_m$ と定める。

このとき、$m\ge d$ をみたすすべての整数 $m$ について
$$h(m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-d}{n}\right)$$
が成り立ち、さらに右辺は $m$ の多項式として次数 $n-1$、最高次の係数 $\frac{d}{(n-1)!}$ をもつことを証明せよ。ただし ${\dim }_k{S}_m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)$（$m\ge 0$）は用いてよい。

$R=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とする。$F\in R$ を既約な $2$ 次斉次多項式、$G\in R$ を $F$ で割り切れない $3$ 次斉次多項式とし、次数つき環 $S=R/(F,G)$ を考える。整数 $m\ge 0$ に対して $h_S(m)={\dim }_{\mathbb{C}}{S}_m$（$S_m$ は $S$ の次数 $m$ の斉次成分）とおくと、十分大きいすべての $m$ に対して $h_S(m)=P(m)$ となる多項式 $P$（$S$ のヒルベルト多項式）がただ 1 つ存在する。$P(m)$ を $m$ の式で求めよ。

${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ の点を $([s_0:s_1],[u_0:u_1])$ と書く。$s_0,s_1$ について $2$ 次、$u_0,u_1$ について $3$ 次の単項式
$$s_0^a{s}_1^{2-a}{u}_0^b{u}_1^{3-b}(0\le a\le 2,0\le b\le 3)$$
は全部で $12$ 個ある。これらを（適当な順に並べて）斉次座標とする写像
$$\phi :{\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^{11}$$
の像を $X$ とする（$X$ は射影多様体である）。$X$ の斉次イデアルを $I(X)\subset S=\mathbb{C}[z_0,\dots ,z_{11}]$（各 $z_i$ の次数は $1$）とするとき、$X$ のヒルベルト多項式 $P_X(t)$、すなわち十分大きい整数 $t$ に対して ${\dim }_{\mathbb{C}}(S/I(X){)}_t$ と一致する $t$ の多項式を求めよ。