射影多様体の次数

次元 $r$ の射影多様体の次数を、ヒルベルト多項式の最高次係数の $r!$ 倍として求められる。完全交叉の次数が各次数の積になること（ベズーの定理の一般化）と、ヴェロネーゼ埋め込みの像の次数 $d^{n}$ 、セグレ埋め込みの像の次数 $(m m + n)$ を求められる

前提

射影多様体のヒルベルト多項式（大学院数学代数幾何）
ベズーの定理（大学院数学代数幾何）

この技能までの道筋（81 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
射影多様体のヒルベルト多項式（大学院数学代数幾何）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）
剰余環のイデアルと単元の個数（大学数学代数学）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
最小多項式と既約性の判定（大学数学代数学）
拡大次数と次数の積の公式（大学数学代数学）
有限体の構造と部分体（大学数学代数学）
射影平面曲線と斉次化（大学院数学代数幾何）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
平面曲線の特異点と重複度（大学院数学代数幾何）
局所交点数（大学院数学代数幾何）
ベズーの定理（大学院数学代数幾何）

説明

射影空間 $P^{N}$ （代数閉体 $k$ 上）の中の次元 $r$ の射影多様体 $X$ に対し、その「大きさ」を表す正の整数である次数 $de g X$ を求められるようになります。ヒルベルト多項式を $P_{X} (t) = \frac{d e g X}{r !} t^{r} + (低次の項)$ と書いたときの最高次係数の $r!$ 倍が次数で、幾何的には一般の位置にある余次元 $r$ の線形部分空間と $X$ の交点の個数です。完全交叉の次数（各方程式の次数の積）、ヴェロネーゼ像の次数 $d^{n}$ 、セグレ像の次数 $(m m + n)$ がこの方法で求まります。

なぜそうしてよいのか

正規化の意味. 線形部分空間 $P^{r} \subset P^{N}$ の斉次座標環は $r + 1$ 変数の多項式環なので、ヒルベルト多項式は $(r t + r) = \frac{t ^{r}}{r !} + \dots$ です。「線形空間の次数は 1」となるように、最高次係数に $r!$ を掛けて正規化します。平面曲線では、前提の技能の $P (t) = d t + 1 - g$ から $r = 1$ , 次数 $1! \cdot d = d$ となり、方程式の次数と一致します。

なぜ交点の個数になるか. 次数付きの $S$ 加群 $M$ （最初は $X$ の斉次座標環 $R = S / I$ ）と 1 次式 $h$ に対し、 $0 \to K \to M (- 1) \times h M \to M / h M \to 0$ は完全です（ $K$ は $\times h$ の核）。 $h$ を一般にとると、 $K$ は有限個の次数でしか 0 でない（ $t$ が十分大きければ $K_{t} = 0$ ）ことが示せます。最初の $M = R$ では $R$ が整域なので $K = 0$ ですが、2 回目以降の $M = R / h R$ などは整域とは限らず $K \neq = 0$ もありえます。それでも $t$ が大きいところで次元の交代和をとれば $K$ は効かず、
$P_{M / h M} (t) = P_{M} (t) - P_{M} (t - 1)$
が一般の超平面について成り立ちます。 $a \frac{t ^{r}}{r !}$ の差分の最高次は $a \frac{t ^{r - 1}}{( r - 1 )!}$ なので、一般の超平面で切るたびに次元は 1 下がり、正規化した最高次係数 $a$ は保たれます。 $r$ 回切ると定数 $a$ が残り、これは 0 次元の集合（有限個の点）のヒルベルト多項式なので、交点を重複込みで数えた個数です。さらに線形部分空間を一般の位置にとれば交点はすべて重複度 1 の相異なる点になるので、 $de g X$ は文字どおり交点の個数です。ベズーの定理で「次数 $d$ の曲線と一般の直線は相異なる $d$ 点で交わる」のと同じことです。

3 つの代表例. (1) 完全交叉： $P^{n}$ の超曲面 $F = 0$ （次数 $d$ ）では $P (t) = (n t + n) - (n t - d + n) = d \frac{t ^{n - 1}}{( n - 1 )!} + \dots$ で次数 $d$ 。完全交叉では各式が前の式で割った環で零因子でない（ $K = 0$ ）ので、次数 $e$ の式で切るたびに上と同じ完全系列（ねじれが $(- e)$ ）で $P (t) - P (t - e)$ となり、最高次係数が $e$ 倍されます。よって $c$ 個の式で余次元 $c$ の完全交叉の次数は $d_{1} d_{2} \dots d_{c}$ 。(2) ヴェロネーゼ埋め込み $v_{d} : P^{n} \to P^{(d n + d) - 1}$ の像の座標環の $t$ 次部分は $n + 1$ 変数の $d t$ 次式全体なので $P (t) = (n d t + n) = \frac{d ^{n} t ^{n}}{n !} + \dots$ 、次数 $d^{n}$ 。(3) セグレ埋め込み $P^{m} \times P^{n} \to P^{(m + 1) (n + 1) - 1}$ の像の座標環の $t$ 次部分は $x$ について $t$ 次・ $y$ について $t$ 次の単項式 $x^{α} y^{β}$ で張られ（これらは 1 次独立）、 $P (t) = (m t + m) (n t + n) = \frac{t ^{m + n}}{m ! n !} + \dots$ 。次元は $m + n$ なので次数は $\frac{( m + n )!}{m ! n !} = (m m + n)$ 。

手順

$X$ の斉次座標環 $S / I$ の $t$ 次部分の次元（ヒルベルト関数）を、 $t$ が十分大きいところで $t$ の多項式 $P_{X} (t)$ として書く。
$P_{X} (t)$ の次数を読み取り、それが $X$ の次元 $r$ である（埋め込み先の $N$ ではない）ことを確認する。
$P_{X} (t)$ の $t^{r}$ の係数 $c$ を求める（ $(a t + a)$ の形の積なら、最高次は $\frac{t ^{a}}{a !}$ の積）。
$de g X = r! \cdot c$ を計算する。
代表例は公式で確かめる：完全交叉なら $d_{1} \dots d_{c}$ 、 $v_{d} (P^{n})$ なら $d^{n}$ 、 $P^{m} \times P^{n}$ のセグレ像なら $(m m + n)$ 。

例題

セグレ埋め込み $P^{2} \times P^{2} \to P^{8}$ , $([x_{0} : x_{1} : x_{2}], [y_{0} : y_{1} : y_{2}]) \mapsto [x_{i} y_{j}]_{0 \leq i, j \leq 2}$ の像 $X$ の次数を、ヒルベルト多項式から求めよ。

例題の解答

手順 1: $X$ の斉次座標環の $t$ 次部分は、 $x$ について $t$ 次かつ $y$ について $t$ 次の単項式 $x^{α} y^{β}$ で張られ、それらは 1 次独立である。3 変数の $t$ 次単項式は $(2 t + 2)$ 個なので
$P_{X} (t) = (2 t + 2)^{2} = (\frac{( t + 2 ) ( t + 1 )}{2})^{2} .$

手順 2: これは $t$ の 4 次式なので $r = dim X = 4$ （ $= 2 + 2$ 。埋め込み先の 8 ではない）。

手順 3: $t^{4}$ の係数は $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ 。

手順 4: $de g X = 4! \cdot \frac{1}{4} = 6$ 。

手順 5: 公式 $(m m + n) = (2 4) = 6$ と一致する。

答え: $6$

よくある誤り

最高次係数そのものを次数としてしまう誤り。例題で $\frac{1}{4}$ と答えてしまう。正しくは $r!$ を掛けて $de g X = 4! \cdot \frac{1}{4} = 6$ 。
$r$ に埋め込み先の次元を使ってしまう誤り。例題で $8! \cdot (t^{8} の係数)$ とすると $t^{8}$ の係数は 0 で意味をなさない。正しくは $P_{X} (t)$ の次数 $= dim X = 4$ を $r$ に使う。
セグレ像の次数を $(m + 1) (n + 1)$ や $mn$ 、ヴェロネーゼ像の次数を $d$ としてしまう誤り。正しくは $P^{m} \times P^{n}$ のセグレ像の次数は $(m m + n)$ （例: $P^{1} \times P^{1}$ は $2$ 、 $P^{2} \times P^{2}$ は $6$ ）、 $v_{d} (P^{n})$ の次数は $d^{n}$ （例: $v_{2} (P^{2})$ は $4$ ）。
完全交叉でない場合にも方程式の次数の積を使ってしまう誤り。例えばねじれ 3 次曲線は 2 次式 3 つ $x z - y^{2}, y w - z^{2}, x w - y z$ で定義されるが、次数は $2^{3} = 8$ ではない。正しくはヒルベルト多項式 $P (t) = 3 t + 1$ から次数 $1! \cdot 3 = 3$ 。積の公式は、余次元が方程式の個数に等しい（各式が順に零因子でない）ときだけ使える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
複素数体 $C$ 上で考える。 $P^{1}$ の斉次座標を $[s_{0} : s_{1}]$ 、 $P^{2}$ の斉次座標を $[x_{0} : x_{1} : x_{2}]$ とする。 $s_{i}$ について $1$ 次かつ $x_{j}$ について $2$ 次の単項式 $s_{i} x_{j} x_{k}$ （ $i \in {0, 1}$ 、 $x_{j} x_{k}$ は $x_{0}, x_{1}, x_{2}$ の $2$ 次単項式）は全部で $2 \times 6 = 12$ 個ある。これらをすべて並べた写像
$φ : P^{1} \times P^{2} \to P^{11}, ([s_{0} : s_{1}], [x_{0} : x_{1} : x_{2}]) \mapsto [s_{0} x_{0}^{2} : s_{0} x_{0} x_{1} : \dots : s_{1} x_{2}^{2}]$
（直線束 $O (1, 2)$ による埋め込み）の像を $X = φ (P^{1} \times P^{2}) \subset P^{11}$ とする。 $X$ は $3$ 次元の射影多様体である。 $X$ の次数 $de g X$ を求めよ。

射影多様体の次数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題