代数幾何の問題

使う事実. 次元 $r$ の射影多様体 $X$ のヒルベルト多項式を $P_X(t)=\frac{\mathrm{deg}X}{r!}{t}^r+(\text{低次の項})$ と書くとき、$\mathrm{deg}X$ は最高次係数の $r!$ 倍である。ここでは $r=3$ である。

手順 1（斉次座標環の次数 $t$ 部分）. ${\mathbb{P}}^{11}$ の斉次座標を $z_0,\dots ,z_{11}$ とし、$X$ の斉次座標環を $S_X=\mathbb{C}[z_0,\dots ,z_{11}]/I_X$ とする。各 $z$ に対応する単項式 $s_i{x}_j{x}_k$ を代入する環準同型 $\mathbb{C}[z_0,\dots ,z_{11}]\to \mathbb{C}[s_0,s_1,x_0,x_1,x_2]$ の核が $I_X$ である。$z$ について次数 $t$ の多項式は、$s$ について $t$ 次・$x$ について $2t$ 次の双斉次多項式に移る。逆に、$s$ について $t$ 次・$x$ について $2t$ 次の単項式は、$s$ の $t$ 個の因子と $x$ の $2t$ 個の因子を $1$ 個と $2$ 個ずつ組にすることで、$s_i{x}_j{x}_k$ 型の単項式 $t$ 個の積として書ける。よって
$$(S_X{)}_t\cong \mathbb{C}[s_0,s_1{]}_t\otimes \mathbb{C}[x_0,x_1,x_2{]}_{2t}.$$

手順 2（次元を数える）. $\dim \mathbb{C}[s_0,s_1{]}_t=t+1$、$\dim \mathbb{C}[x_0,x_1,x_2{]}_{2t}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2t+2}{2})=(t+1)(2t+1)$ だから
$$P_X(t)=(t+1)\cdot (t+1)(2t+1)=(t+1{)}^2(2t+1)=2t^3+5t^2+4t+1.$$

手順 3（次数）. $\dim X=3$ なので
$$\mathrm{deg}X=3!\times 2=12.$$

検算. ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2$ のコホモロジー環（交叉環）を $\mathbb{Z}[a,b]/(a^2,b^3)$（$a,b$ はそれぞれの因子の超平面類の引き戻し、$a{b}^2$ が $1$ 点の類）とすると、$\mathcal{O}(1,2)$ の類は $h=a+2b$ であり
$$h^3=(a+2b{)}^3=a^3+3a^2(2b)+3a(2b{)}^2+(2b{)}^3=12a{b}^2$$
（$a^2=0$, $b^3=0$ を用いた）。したがって一般の超平面 $3$ 枚との交点は $12$ 個で、上の結果と一致する。

したがって $\mathrm{deg}X=12$ である。

$\phi$ は直線束 $L=\mathcal{O}(1,2)$ による埋め込みなので、$\mathrm{deg}X=(c_1(L){)}^3$ である（$\phi$ は埋め込みで像は 3 次元、${\phi }^{\ast }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^{11}}(1)=L$）。

$H_1,H_2$ をそれぞれ ${\mathbb{P}}^1$, ${\mathbb{P}}^2$ の超平面類の引き戻しとすると、$A^{\ast }({\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2)=\mathbb{Z}[H_1,H_2]/(H_1^2,H_2^3)$ で、$H_1{H}_2^2$ が点の類（積分値 1）である。$c_1(L)=H_1+2H_2$。

$(H_1+2H_2{)}^3=H_1^3+3H_1^2(2H_2)+3H_1(2H_2{)}^2+(2H_2{)}^3$。$H_1^2=0$, $H_2^3=0$ より、残るのは $3H_1\cdot 4H_2^2=12H_1{H}_2^2$ のみ。よって $\mathrm{deg}X=12$。

検算: 一般に $\mathcal{O}(a,b)$ による埋め込みの次数は $3a{b}^2$ で、$a=1,b=2$ のとき $3\cdot 1\cdot 4=12$。別の見方として、$a=1,b=1$ のセグレ埋込み ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2\subset {\mathbb{P}}^5$ の次数は $3$ であり（$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$）、公式 $3a{b}^2$ と一致する。また $X$ は ${\mathbb{P}}^1$ 上の ${\mathbb{P}}^2$ のヴェロネーゼ曲面（次数 4）のファイバーをもつ束で、${\mathbb{P}}^1$ 方向の次数 1 と合わせ $3\cdot 4=12$ とも整合する。