代数幾何の問題

$k$ を体、$n\ge 1$ を整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を通常の次数付けをもつ多項式環、$S_m$ を $m$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする（$m<0$ なら $S_m=0$）。$F\in S$ を次数 $d\ge 1$ の $0$ でない斉次多項式とし、$I=(F)$ を $F$ が生成するイデアル、$I_m=I\cap S_m$ とおく。$R=S/I$ の $m$ 次部分の次元を $h(m)={\dim }_k{S}_m-{\dim }_k{I}_m$ と定める。

このとき、$m\ge d$ をみたすすべての整数 $m$ について
$$h(m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-d}{n}\right)$$
が成り立ち、さらに右辺は $m$ の多項式として次数 $n-1$、最高次の係数 $\frac{d}{(n-1)!}$ をもつことを証明せよ。ただし ${\dim }_k{S}_m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)$（$m\ge 0$）は用いてよい。

$p$ を $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ をみたす素数とし、$F(X,Y)\in {\mathbb{F}}_p[X,Y]$ を 3 次斉次多項式または零多項式とする。射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の曲線
$$C:Z^3=F(X,Y)$$
の ${\mathbb{F}}_p$ 有理点の集合を
$$C({\mathbb{F}}_p)=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_p)\mid Z^3=F(X,Y)\}$$
と定める（両辺はともに 3 次斉次なので、この条件は斉次座標の取り方によらない）。このとき、$F$ の取り方によらず
$$\#C({\mathbb{F}}_p)=p+1$$
であることを証明せよ。ただし、有限群の元の位数は群の位数を割り切ること（ラグランジュの定理）は用いてよい。

$R=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とする。$F\in R$ を既約な $2$ 次斉次多項式、$G\in R$ を $F$ で割り切れない $3$ 次斉次多項式とし、次数つき環 $S=R/(F,G)$ を考える。整数 $m\ge 0$ に対して $h_S(m)={\dim }_{\mathbb{C}}{S}_m$（$S_m$ は $S$ の次数 $m$ の斉次成分）とおくと、十分大きいすべての $m$ に対して $h_S(m)=P(m)$ となる多項式 $P$（$S$ のヒルベルト多項式）がただ 1 つ存在する。$P(m)$ を $m$ の式で求めよ。

複素数体 $\mathbb{C}$ 上で考える。$V={\mathbb{C}}^6$ とし、$V$ の $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G=G(2,6)$ を、プリュッカー埋め込みにより $G\subset \mathbb{P}({\bigwedge }^{2}V)\cong {\mathbb{P}}^{14}$ とみなす。$\Lambda \subset {\mathbb{P}}^{14}$ を一般の余次元 $5$ の線形部分空間（$\Lambda \cong {\mathbb{P}}^9$）とし、$X=G\cap \Lambda$（スキーム論的交わり）とおく。

次の事実を用いてよい。
- $G$ の斉次座標環 $S_G=\mathbb{C}[p_{ij}]/I_G$ は次元 $9$ の Cohen–Macaulay 整域である。
- $t\ge 0$ に対し、$S_G$ の $t$ 次部分 $(S_G{)}_t$ は ${\mathrm{GL}}_6(\mathbb{C})$ の表現として、ヤング図形 $\lambda =(t,t)$（長さ $t$ の行が $2$ 本）に対応する既約表現と同じ次元をもつ。

$X\subset \Lambda \cong {\mathbb{P}}^9$ のヒルベルト多項式 $P_X(t)$ を求めよ。

${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ の点を $([s_0:s_1],[u_0:u_1])$ と書く。$s_0,s_1$ について $2$ 次、$u_0,u_1$ について $3$ 次の単項式
$$s_0^a{s}_1^{2-a}{u}_0^b{u}_1^{3-b}(0\le a\le 2,0\le b\le 3)$$
は全部で $12$ 個ある。これらを（適当な順に並べて）斉次座標とする写像
$$\phi :{\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^{11}$$
の像を $X$ とする（$X$ は射影多様体である）。$X$ の斉次イデアルを $I(X)\subset S=\mathbb{C}[z_0,\dots ,z_{11}]$（各 $z_i$ の次数は $1$）とするとき、$X$ のヒルベルト多項式 $P_X(t)$、すなわち十分大きい整数 $t$ に対して ${\dim }_{\mathbb{C}}(S/I(X){)}_t$ と一致する $t$ の多項式を求めよ。