ヒルベルト・サミュエル関数と重複度

ネーター局所環 $(R, m)$ について、長さ $ℓ (R / m^{n})$ を随伴次数環 $⨁ m^{i} / m^{i + 1}$ の次元の和として計算できる。 $n$ が大きいときの多項式の次数が $dim R$ に等しいことを使い、最高次の係数から重複度 $e$ を求められる（例: $k [x, y]_{(x, y)} / (y^{2} - x^{3})$ で $e = 2$ ）

前提

クルル次元と素イデアルの高さ（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
射影多様体のヒルベルト多項式（大学院数学代数幾何）

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算数中学高校大学大学院

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射影多様体のヒルベルト多項式（大学院数学代数幾何）

説明

ネーター局所環 $(R, m)$ に対して、 $n \mapsto ℓ (R / m^{n})$ （ヒルベルト・サミュエル関数）を計算し、 $n$ が大きいときに一致する多項式の最高次の係数から、その点の「特異さの度合い」を表す整数＝重複度 $e$ を求められるようになります。 $ℓ$ は加群の長さで、 $m$ で消える加群なら $k = R / m$ 上の次元と同じです。滑らかな点では $e = 1$ 、曲線の尖点や超曲面の特異点では $e \geq 2$ となり、超曲面の場合は定義式の最低次の次数として素早く求められます。

なぜそうしてよいのか

長さを層ごとに数える。 加群 $M$ の長さ $ℓ (M)$ は、部分加群の真の増大列 $0 = M_{0} ⊊ \dots ⊊ M_{l} = M$ の長さ $l$ の最大値で、短完全列で足し算になり、 $m$ で消える加群（ $k$ 上のベクトル空間）では $dim_{k}$ と一致します。 $R / m^{n} \supset m / m^{n} \supset \dots \supset m^{n - 1} / m^{n} \supset 0$ と分けると、隣どうしの商は $m^{i} / m^{i + 1}$ で、これは $m$ で消えるので
$ℓ (R / m^{n}) = i = 0 \sum n - 1 dim_{k} m^{i} / m^{i + 1}$
です。 $gr R = ⨁_{i} m^{i} / m^{i + 1}$ （随伴次数環）は次数 1 の部分 $m / m^{2}$ で生成される次数付き環、つまり多項式環を斉次イデアルで割った環なので、射影多様体のときと同じく $dim_{k} m^{i} / m^{i + 1}$ は $i$ が大きいと多項式になり、その和 $ℓ (R / m^{n})$ も $n$ が大きいと多項式 $P (n)$ になります。

次数と重複度。 $P (n)$ の次数は $dim R$ （クルル次元）に等しい、という定理を使います。 $d = dim R$ とし、 $P (n) = \frac{e}{d !} n^{d} + (低次)$ と書いたときの $e$ を重複度と呼びます。 $d!$ を掛けるのは、多項式環の原点 $k [x_{1}, \dots, x_{d}]_{(x)}$ で $ℓ = (d n - 1 + d) = \frac{n ^{d}}{d !} + \dots$ となり $e = 1$ と正規化するためです。

超曲面の場合の計算。 $R = k [x_{1}, \dots, x_{r}]_{M} / (f)$ 、 $M = (x_{1}, \dots, x_{r})$ 、 $f \in M$ の最低次の斉次部分 $f_{s}$ の次数を $s$ とします。 $k [x] / M^{n}$ はすでに局所環なので $R / m^{n} ≅ k [x] / (M^{n} + (f))$ 。多項式 $g$ の最低次数を $ord g$ とすると、最低次の部分どうしの積は $0$ でないので $ord (g f) = ord g + s$ 。よって $g f \in M^{n} ⟺ g \in M^{n - s}$ で、 $(f) / ((f) \cap M^{n}) ≅ k [x] / M^{n - s}$ 。したがって ( $n \geq s$ で)
$ℓ (R / m^{n}) = (r n - 1 + r) - (r n - s - 1 + r)$
となり、 $r - 1$ 次の多項式で、最高次の係数は $\frac{s}{( r - 1 )!}$ 、つまり $e = s$ です（ $dim R = r - 1$ ）。

手順

$R / m^{n}$ を具体的な環で表す。点が原点でなければ、まず座標を平行移動してその点を原点にする。超曲面なら $R / m^{n} ≅ k [x_{1}, \dots, x_{r}] / (M^{n} + (f))$
各層の次元 $dim_{k} m^{i} / m^{i + 1}$ を求める。超曲面なら、 $f$ の最低次の次数を $s$ として $(r - 1 i + r - 1) - (r - 1 i - s + r - 1)$ （ $i < s$ では第 2 項は $0$ ）
和をとって $ℓ (R / m^{n}) = \sum_{i = 0}^{n - 1} dim_{k} m^{i} / m^{i + 1}$ を $n$ の多項式として求める。超曲面なら $(r n - 1 + r) - (r n - s - 1 + r)$
多項式の次数が $d = dim R$ になっていることを確かめる
最高次の係数に $d!$ を掛けて重複度 $e$ を求める

例題

$k$ を体、 $R = k [x, y, z]_{(x, y, z)} / (z^{3} - x^{4} - y^{5})$ 、 $m$ をその極大イデアルとする。 $n$ が十分大きいとき $ℓ (R / m^{n})$ は $n$ の多項式に一致する。 $R$ の重複度 $e$ を求めよ。

例題の解答

手順 1 $(x, y, z)$ は原点なので平行移動は不要。 $R / m^{n} ≅ k [x, y, z] / (M^{n} + (f))$ 、 $f = z^{3} - x^{4} - y^{5}$ 、 $r = 3$ 。

手順 2 $f$ の最低次の斉次部分は $z^{3}$ なので $s = 3$ （最高次の $5$ ではない）。 $dim_{k} m^{i} / m^{i + 1} = (2 i + 2) - (2 i - 1)$ で、 $i \geq 3$ では $3 i$ 。たとえば $i = 0, 1, 2$ では $1, 3, 6$ 。

手順 3 $ℓ (R / m^{n}) = (3 n + 2) - (3 n - 1)$ 。 $(n + 2) (n + 1) n = n^{3} + 3 n^{2} + 2 n$ 、 $(n - 1) (n - 2) (n - 3) = n^{3} - 6 n^{2} + 11 n - 6$ より
$ℓ (R / m^{n}) = \frac{9 n ^{2} - 9 n + 6}{6} = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{3}{2} n + 1.$
（検算： $n = 1$ で $1$ 、 $n = 2$ で $1 + 3 = 4$ 、 $n = 3$ で $1 + 3 + 6 = 10$ 。）

手順 4 次数は $2$ 。 $dim k [x, y, z] / (f) = 2$ で、原点での局所化も高さ 2 の素イデアルの局所化なので $dim R = 2$ と一致する。

手順 5 $e = 2! \times \frac{3}{2} = 3$ 。

答え: $3$

よくある誤り

最高次の係数そのものを重複度としてしまう誤り。上の例で $e = \frac{3}{2}$ とするのは誤りで、正しくは $d!$ を掛けて $e = 2! \cdot \frac{3}{2} = 3$
超曲面の重複度を $f$ の（最高）次数としてしまう誤り。 $y^{2} - x^{3}$ は 3 次式だが、原点での重複度は最低次の部分 $y^{2}$ の次数で $e = 2$ 。 $m^{n}$ に関係するのは原点の近くでの振る舞い、つまり最低次の項
原点以外の点でも原点の式のまま最低次数を読んでしまう誤り。 $k [x, y] / (y^{2} - x^{3})$ を点 $(1, 1)$ で局所化するなら $x = 1 + u, y = 1 + v$ と置いて $f = (1 + v)^{2} - (1 + u)^{3} = 2 v - 3 u + \dots$ となり、最低次は 1 次で $e = 1$ （滑らかな点）
$ℓ (R / m^{n})$ を $dim_{k} m^{n} / m^{n + 1}$ 1 つだけで代用し、その多項式の次数から $dim R$ や $e$ を読んでしまう誤り。 $dim_{k} m^{i} / m^{i + 1}$ は次数が 1 つ低い（例では $3 i$ で 1 次）。正しくは $i = 0$ から $n - 1$ までの和 $\frac{3}{2} n^{2} - \dots$ を使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。複素数体 $C$ 上の二変数多項式環を極大イデアル $(x, y)$ で局所化した環を $A = C [x, y]_{(x, y)}$ とし、
$R = A / (x^{2} y - y^{3} + x^{5})$
とおく。 $R$ はネーター局所環で、その極大イデアルを $m = (x, y) R$ とする。 $n$ を $2$ 以上の整数とするとき、 $R$ 加群としての長さ $ℓ (R / m^{n})$ を $n$ の式で表せ。

ヒルベルト・サミュエル関数と重複度

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題