可換環論・ホモロジー代数の問題

方針. $0\to {\mathfrak{m}}^i/{\mathfrak{m}}^{i+1}\to R/{\mathfrak{m}}^{i+1}\to R/{\mathfrak{m}}^i\to 0$ をくり返し使うと
$$\ell (R/{\mathfrak{m}}^n)=\sum _{i=0}^{n-1}{\dim }_{\mathbb{C}}{\mathfrak{m}}^i/{\mathfrak{m}}^{i+1}$$
となる。そこで随伴次数環 ${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}R={⨁}_i{\mathfrak{m}}^i/{\mathfrak{m}}^{i+1}$ の各次数の次元を求める。

随伴次数環. $f=x^{2}y-y^3+x^5$ の最低次の斉次部分（初項）は $f^{\ast }=x^{2}y-y^3$（$3$ 次）である。$A$ の随伴次数環は多項式環 $\mathbb{C}[x,y]$ で、これは整域なので、$g\in A$ の初項の次数を $\mathrm{ord}g$ とすると $\mathrm{ord}(fg)=\mathrm{ord}f+\mathrm{ord}g$、初項は $f^{\ast }{g}^{\ast }$ となる。したがって $(f)$ の元の初項全体が生成するイデアルは $(f^{\ast })$ で、
$${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}R\cong \mathbb{C}[x,y]/(x^{2}y-y^3).$$

各次数の次元. $\mathbb{C}[x,y]$ の $i$ 次の部分は $i+1$ 次元。$(f^{\ast })$ の $i$ 次の部分は $f^{\ast }\cdot (i-3\text{ 次の多項式})$ で、$i\ge 3$ のとき $i-2$ 次元、$i\le 2$ のとき $0$。よって
$$\dim {\mathfrak{m}}^i/{\mathfrak{m}}^{i+1}=\{\begin{array}{ll}1& (i=0)\\ 2& (i=1)\\ 3& (i=2)\\ (i+1)-(i-2)=3& (i\ge 3)\end{array}$$

長さ. $n\ge 2$ のとき
$$\ell (R/{\mathfrak{m}}^n)=1+2+\underset{n-2\text{ 個}}{\underbrace{3+3+\cdots +3}}=3+3(n-2)=3n-3.$$
（確認: $n=2$ で $\ell (R/{\mathfrak{m}}^2)=1+2=3$、$n=3$ で $1+2+3=6$。）

これは $n$ の $1$ 次式で、次数 $1=\dim R$ と一致し、最高次の係数から重複度は $e=3\cdot 1!=3$（初項 $f^{\ast }$ の次数）となる。

答え: $3n-3$

$f=x^{2}y-y^3+x^5$ とおく。$f$ の最低次の項（初項形式）は $f^{\ast }=x^{2}y-y^3$（3 次）で、$f\in {\mathfrak{m}}_A^3\setminus {\mathfrak{m}}_A^4$。ここで ${\mathfrak{m}}_A=(x,y)A$。

$A$ の随伴次数環は $\mathbb{C}[x,y]$ で、$A/(f)$ の随伴次数環は $\mathbb{C}[x,y]/(f^{\ast })$ に等しい（$(f)$ の初項イデアルが $(f^{\ast })$ であることは、単項イデアルで $f^{\ast }\ne 0$、$\mathbb{C}[x,y]$ が整域であることから従う）。

したがって $H(i)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathfrak{m}}^i/{\mathfrak{m}}^{i+1}$ は $\mathbb{C}[x,y]/(f^{\ast })$ の $i$ 次部分の次元で、$\dim \mathbb{C}[x,y{]}_i-\dim \mathbb{C}[x,y{]}_{i-3}=(i+1)-(i-2)=3$（$i\ge 2$）、$H(0)=1$、$H(1)=2$、$H(2)=3$。

$\ell (R/{\mathfrak{m}}^n)={\sum }_{i=0}^{n-1}H(i)=1+2+3(n-2)=3n-3$（$n\ge 2$）。

検算: $n=2$ で $3$（$1,x,y$）。$n=3$ で $6$（$1,x,y,x^2,xy,y^2$ で、$f$ は ${\mathfrak{m}}^3$ に入るので次数 3 の関係は ${\mathfrak{m}}^3$ 側）。いずれも $3n-3$ と一致。