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可換環論・ホモロジー代数の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学可換環論・ホモロジー代数

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。 $R = F_{3} [x, y]$ （ $3$ 元体 $F_{3}$ 上の二変数多項式環）とし、 $R$ 加群
$M = R / (x^{2}, y), N = R / (x^{3}, x y, y^{2})$
を考える。 $x^{2}, y$ が $R$ の正則列であることを用いて、 $Tor_{1}^{R} (M, N)$ の $F_{3}$ 上のベクトル空間としての次元を求めよ。

この問題で使うもの

正則列とコシュル複体（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「正則列とコシュル複体」を使う。 $x^{2}, y$ が正則列なので、 $M$ の自由分解として $0 \to R \to R^{2} \to R \to M \to 0$ がとれる。

ヒント 2

分解に $N$ をテンソルすると $0 \to N \to N^{2} \to N \to 0$ で、写像は $n \mapsto (- y n, x^{2} n)$ と $(u, v) \mapsto x^{2} u + y v$ 。 $N$ の $F_{3}$ 基底 $1, x, x^{2}, y$ で各写像を調べる。

ヒント 3

$x^{2} u + y v$ の像は $x^{2}$ と $y$ で張られる $2$ 次元なので核は $6$ 次元。 $n \mapsto (- y n, x^{2} n)$ は $n$ の定数項だけで決まる。

答えと解説

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5

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解説を読む

コシュル複体による自由分解. $a = x^{2}, b = y$ とおく。 $a$ は整域 $R$ の零因子でなく、 $b = y$ は $R / (x^{2}) ≅ (F_{3} [x] / (x^{2})) [y]$ の零因子でないので、 $a, b$ は正則列である。したがってコシュル複体
$0 \to R d_{2} R^{2} d_{1} R \to M \to 0, d_{2} (r) = (- b r, a r), d_{1} (u, v) = a u + b v$
は $M = R / (a, b)$ の自由分解である。

$N$ とのテンソル積. $R^{k} \otimes_{R} N ≅ N^{k}$ なので、 $Tor_{i}^{R} (M, N)$ は複体
$0 \to N n \mapsto (- y n, x^{2} n) N^{2} (u, v) \mapsto x^{2} u + y v N \to 0$
の中央の項（次数 $1$ ）のホモロジーである。

$N$ の基底. $N = R / (x^{3}, x y, y^{2})$ では $x^{3} = x y = y^{2} = 0$ なので、残る単項式は $1, x, x^{2}, y$ で、 $dim_{F_{3}} N = 4$ 。 $n = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} y$ と書く。

$d_{1}$ の像と核. $x^{2} u$ は $u$ の定数項の $x^{2}$ 倍、 $y v$ は $v$ の定数項の $y$ 倍になる（ $x^{3} = x^{2} y = x y = y^{2} = 0$ のため）。よって $d_{1}$ の像は $F_{3} x^{2} + F_{3} y$ で $2$ 次元。 $dim N^{2} = 8$ なので $dim ker d_{1} = 8 - 2 = 6$ 。

$d_{2}$ の像. $y n = c_{0} y$ 、 $x^{2} n = c_{0} x^{2}$ なので $d_{2} (n) = (- c_{0} y, c_{0} x^{2})$ 。像は $1$ 次元。

ホモロジー.
$dim_{F_{3}} Tor_{1}^{R} (M, N) = dim ker d_{1} - dim im d_{2} = 6 - 1 = 5.$

（検算: $Tor_{0} = N / (x^{2}, y) N$ は基底 $1, x$ で $2$ 次元、 $Tor_{2} = {n : x^{2} n = y n = 0} = {c_{0} = 0}$ は $3$ 次元。複体の各項の次元の交代和 $4 - 8 + 4 = 0$ はホモロジーの交代和に等しいので $2 - dim Tor_{1} + 3 = 0$ 、すなわち $dim Tor_{1} = 5$ で一致する。）

答え: $5$

別解

$x^{2}, y$ は $R$ の正則列なので、 $M$ の自由分解は Koszul 複体 $0 \to R d_{2} R^{2} d_{1} R \to M \to 0$ で、 $d_{1} (a, b) = x^{2} a + y b$ 、 $d_{2} (c) = (- y c, x^{2} c)$ である。これに $N$ を $\otimes$ すると $Tor_{1}^{R} (M, N) = ker (d_{1} \otimes N) / im (d_{2} \otimes N)$ 。

$N = R / (x^{3}, x y, y^{2})$ の $F_{3}$ 基底は $1, x, x^{2}, y$ （次元 4）。

$x^{2}$ 倍: $1 \mapsto x^{2}$ 、 $x \mapsto x^{3} = 0$ 、 $x^{2} \mapsto 0$ 、 $y \mapsto x^{2} y = 0$ 。階数 1。
$y$ 倍: $1 \mapsto y$ 、 $x \mapsto x y = 0$ 、 $x^{2} \mapsto 0$ 、 $y \mapsto y^{2} = 0$ 。階数 1。

$d_{1} \otimes N : N^{2} \to N$ の像は $⟨ x^{2}, y ⟩$ で次元 2。よって核の次元は $8 - 2 = 6$ 。

$d_{2} \otimes N : N \to N^{2}$ の核は $c$ で $y c = 0$ かつ $x^{2} c = 0$ となるもの。 $c = a + b x + e x^{2} + f y$ とすると $y c = a y$ 、 $x^{2} c = a x^{2}$ なので $a = 0$ 。核は $⟨ x, x^{2}, y ⟩$ で次元 3、像の次元は $4 - 3 = 1$ 。

ゆえに $dim Tor_{1} = 6 - 1 = 5$ 。

検算: $H_{0} = N / (x^{2}, y) N$ の次元は $4 - 2 = 2$ 、 $H_{2} = ker (d_{2} \otimes N)$ の次元は 3。Euler 標数 $2 - 5 + 3 = 0 = 4 - 8 + 4$ で一致する。

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