正則列とコシュル複体

$I = (a, b)$ が正則列のとき、 $R / I$ のコシュル複体 $0 \to R \to R^{2} \to R \to R / I \to 0$ を自由分解として使える。 $N$ に $a, b$ の掛け算を作用させた複体のホモロジーとして、 $R = Z [x]$ 上の $Tor_{1}^{R} (R / (4, x^{2} + 1), R / (6, x^{3} + 1))$ のような Tor の位数を求められる

前提

自由分解による Tor・Ext の計算（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

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算数中学高校大学大学院

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自由分解による Tor・Ext の計算（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

説明

可換環 $R$ の元の組 $a, b$ が正則列のとき、 $R / (a, b)$ の自由分解が長さ 2 の決まった形（コシュル複体）ですぐに書けます。これを使うと、 $Tor_{i}^{R} (R / (a, b), N)$ は「 $N$ に $a, b$ の掛け算を作用させた短い複体」のホモロジーとして計算できます。 $R = Z [x]$ 上で $(p, f (x))$ の形の剰余環が現れる Tor の計算などで、分解を毎回探さずに済むのがこの技能の利点です。

なぜそうしてよいのか

まず言葉を定めます。 $R$ の元の組 $a, b$ が（この順に）正則列であるとは、(1) $a$ が $R$ の非零因子（ $a r = 0 \Rightarrow r = 0$ ）、(2) $b$ が $R / (a)$ の非零因子（ $b v \in (a) \Rightarrow v \in (a)$ ）、(3) $R / (a, b) \neq = 0$ 、の 3 つが成り立つことです。たとえば $R = Z [x]$ で $a = 2, b = x$ は正則列です（ $2$ は $Z [x]$ の非零因子、 $x$ は $F_{2} [x]$ の非零因子）。

コシュル複体は $0 \to R d_{2} R^{2} d_{1} R \to R / (a, b) \to 0$ 、ただし $d_{2} (r) = (- b r, a r)$ 、 $d_{1} (u, v) = a u + b v$ です。 $d_{1} (d_{2} (r)) = - ab r + ba r = 0$ なので複体になっており、 $d_{1}$ の像はちょうど $(a, b)$ です。符号 $- b$ は、この合成を $0$ にするために入れています。

正則列ならこれが完全であること（つまり自由分解であること）は、定義から直接確かめられます。 $d_{2}$ の単射性： $d_{2} (r) = 0$ なら $a r = 0$ で、 $a$ が非零因子だから $r = 0$ 。 $ker d_{1} \subset im d_{2}$ ： $a u + b v = 0$ とすると $b v = - a u \in (a)$ なので (2) より $v = a r^{'}$ と書け、 $a (u + b r^{'}) = 0$ から (1) で $u = - b r^{'}$ 。よって $(u, v) = d_{2} (r^{'})$ です。したがって前提の技能どおり、この分解に $\otimes_{R} N$ をとった複体 $0 \to N \to N^{2} \to N \to 0$ （写像は同じ式）のホモロジーが $Tor_{i}^{R} (R / (a, b), N)$ になります。

手順

$a, b$ が正則列であることを確かめる： $a$ が $R$ の非零因子、 $b$ が $R / (a)$ の非零因子、 $R / (a, b) \neq = 0$
コシュル複体を自由分解として書く： $0 \to R r \mapsto (- b r, a r) R^{2} (u, v) \mapsto a u + b v R \to R / (a, b) \to 0$
$N$ とテンソルして（ $R / (a, b)$ の項を除いた）複体 $0 \to N d_{2} N^{2} d_{1} N \to 0$ を作る。 $d_{2} (n) = (- bn, an)$ 、 $d_{1} (u, v) = a u + b v$
ホモロジーを読む： $Tor_{0} = N / (a N + b N)$ 、 $Tor_{1} = ker d_{1} / im d_{2}$ 、 $Tor_{2} = ker d_{2} = {n \in N : an = bn = 0}$ 、 $i \geq 3$ では $0$
有限のときは位数で数える： $∣ ker d_{1} ∣ = ∣ N ∣^{2} /∣ a N + b N ∣$ 、 $∣ im d_{2} ∣ = ∣ N ∣/∣ ker d_{2} ∣$ から $∣ Tor_{1} ∣ = ∣ ker d_{1} ∣/∣ im d_{2} ∣$ 。検算に $∣ Tor_{0} ∣ ∣ Tor_{2} ∣ = ∣ Tor_{1} ∣$ を使う

例題

$R = Z [x]$ とする。 $Tor_{1}^{R} (R / (2, x), R / (4, x^{2}))$ の位数を求めよ。

例題の解答

手順 1（正則列の確認） $a = 2, b = x$ とおく。 $2$ は $Z [x]$ の非零因子、 $R / (2) = F_{2} [x]$ で $x$ は非零因子、 $R / (2, x) = F_{2} \neq = 0$ 。よって $2, x$ は正則列。

手順 2（分解） $0 \to R r \mapsto (- x r, 2 r) R^{2} (u, v) \mapsto 2 u + xv R \to R / (2, x) \to 0$ は自由分解。

手順 3（テンソル） $N = R / (4, x^{2}) = (Z /4) [x] / (x^{2})$ で、元は $c_{0} + c_{1} x$ （ $c_{0}, c_{1} \in Z /4$ ）と書け、 $∣ N ∣ = 16$ 。複体 $0 \to N d_{2} N^{2} d_{1} N \to 0$ 、 $d_{2} (n) = (- x n, 2 n)$ 、 $d_{1} (u, v) = 2 u + xv$ を考える。

手順 4・5（ホモロジーと位数）
- $im d_{1} = 2 N + x N = {c_{0} + c_{1} x : c_{0} は偶数}$ で、位数 $2 \cdot 4 = 8$ 。よって $∣ ker d_{1} ∣ = 1 6^{2} /8 = 32$ 。
- $ker d_{2}$ ： $n = c_{0} + c_{1} x$ に対し $x n = c_{0} x$ （ $x^{2} = 0$ より）なので $x n = 0 ⟺ c_{0} = 0$ 。さらに $2 n = 2 c_{1} x = 0 ⟺ c_{1} \in {0, 2}$ 。よって $ker d_{2} = {0, 2 x}$ 、位数 $2$ 。したがって $∣ im d_{2} ∣ = 16/2 = 8$ 。
- $∣ Tor_{1} ∣ = 32/8 = 4$ 。

検算： $Tor_{0} = N / (2 N + x N) ≅ F_{2}$ （位数 2）、 $Tor_{2} = ker d_{2}$ （位数 2）で、 $2 \cdot 2 = 4 = ∣ Tor_{1} ∣$ と合う。

答え: $4$

よくある誤り

$d_{2} (r) = (b r, a r)$ と符号を付けずにしてしまう誤り。これでは $d_{1} d_{2} (r) = 2 ab r \neq = 0$ となり複体にならない。正しくは $d_{2} (r) = (- b r, a r)$
正則列でない組にもコシュル複体をそのまま分解として使ってしまう誤り。たとえば $R = Z [x]$ で $a = 2, b = 2 x$ は、 $2 x$ が $R / (2) = F_{2} [x]$ で $0$ なので正則列でなく、 $(u, v) = (x, - 1)$ は $ker d_{1}$ に入るが $im d_{2}$ に入らない。正しくは、まず $a$ が $R$ の、 $b$ が $R / (a)$ の非零因子であることを確かめる
$Tor_{1}$ の位数を $∣ ker d_{1} ∣$ そのもの（上の例なら $32$ ）としてしまう誤り。正しくは $im d_{2}$ で割って $∣ ker d_{1} ∣/∣ im d_{2} ∣$ （上の例なら $32/8 = 4$ ）
$N$ とテンソルした複体も完全だと思い、 $Tor_{1} = Tor_{2} = 0$ としてしまう誤り。完全なのはテンソルする前の分解だけで、 $Tor_{2} = {n \in N : an = bn = 0}$ などは一般に $0$ でない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。 $R = F_{3} [x, y]$ （ $3$ 元体 $F_{3}$ 上の二変数多項式環）とし、 $R$ 加群
$M = R / (x^{2}, y), N = R / (x^{3}, x y, y^{2})$
を考える。 $x^{2}, y$ が $R$ の正則列であることを用いて、 $Tor_{1}^{R} (M, N)$ の $F_{3}$ 上のベクトル空間としての次元を求めよ。

正則列とコシュル複体

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題