可換環論・ホモロジー代数の問題

極小自由分解 $\cdots \to F_2\to F_1\to F_0\to k\to 0$ を、核を順に求めて作る。極小自由分解では $F_i\cong R^{{\beta }_i}$ で、各核の極小生成系の個数 $={\dim }_k(K/\mathfrak{m}K)$ が次の階数になる。また $F_{\bullet }{\otimes }_{R}k$ の微分はすべて $0$ になるので ${\dim }_k{\mathrm{Tor}}_i^R(k,k)={\beta }_i$ である。

$R$ の基底. $x^2=y^2=0$ より、$R$ の ${\mathbb{F}}_5$ 基底は $1,x,y,xy$（$\dim R=4$）、$\mathfrak{m}$ の基底は $x,y,xy$（$\dim \mathfrak{m}=3$）。

第 $0$ 段・第 $1$ 段. $F_0=R\to k$ の核は $\mathfrak{m}$。${\mathfrak{m}}^2=(xy)$ なので $\dim \mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2=2$ で、$\mathfrak{m}$ は $x,y$ で極小に生成される。よって ${\beta }_1=2$ で、
$$F_1=R^2\stackrel{(u,v)\mapsto xu+yv}{\to }R.$$

第 $1$ 段の核 $K$. $u=a_0+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}xy$、$v=b_0+b_{1}x+b_{2}y+b_{3}xy$ とすると
$$xu+yv=a_{0}x+b_{0}y+(a_2+b_1)xy.$$
これが $0$ となるのは $a_0=b_0=0,a_2+b_1=0$ のとき。したがって $K$ は
$$(x,0),(xy,0),(0,y),(0,xy),(y,-x)$$
を基底とする $5$ 次元の空間である（$\dim R^2-\dim \mathfrak{m}=8-3=5$ とも一致）。

$\mathfrak{m}K$ の計算. 各基底を $x,y$ 倍すると
$$y(x,0)=(xy,0),x(0,y)=(0,xy),x(y,-x)=(xy,0),y(y,-x)=(0,-xy),$$
ほかは $0$（$x^2=y^2=0$ のため、また $(xy,0),(0,xy)$ に $\mathfrak{m}$ の元を掛けると $0$）。よって $\mathfrak{m}K$ は $(xy,0),(0,xy)$ で張られる $2$ 次元の空間。

ベッチ数.
$${\beta }_2={\dim }_{k}K/\mathfrak{m}K=5-2=3.$$
実際、$K$ は $(x,0),(0,y),(y,-x)$ で極小に生成され、$F_2=R^3$ となる。

答え: $3$

$R=A{\otimes }_{k}B$、$A={\mathbb{F}}_5[x]/(x^2)$、$B={\mathbb{F}}_5[y]/(y^2)$ とおく。$A$ 上で $k$ の自由分解 $\cdots \stackrel{x}{\to }A\stackrel{x}{\to }A\to k\to 0$ があり、各次数の階数は 1。したがって $P_k^A(t)={\sum }_{i\ge 0}{t}^i=\frac{1}{1-t}$。$B$ についても同様。

$k$ の $A$ 上の分解と $B$ 上の分解のテンソル積（体上のテンソル積）は $R$ 上の $k=k{\otimes }_{k}k$ の自由分解になり（体上の平坦性による）、ポアンカレ級数は積になる:
$$P_k^R(t)=\frac{1}{(1-t{)}^2}=\sum _{n\ge 0}(n+1)t^n.$$

よって ${\beta }_2$ は $t^2$ の係数 $3$。

検算: $R$ は完全交叉（$x^2,y^2$ が $k[x,y]$ の正則列）で埋め込み次元 2、${\beta }_1=2$、完全交叉のポアンカレ級数 $\frac{1}{(1-t{)}^2}$ の公式（$(1+t{)}^e/(1-t^2{)}^c$ で $e=2,c=2$、$(1+t{)}^2/(1-t^2{)}^2=1/(1-t{)}^2$）とも一致。${\beta }_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)+c=1+2=3$。