局所アルティン環上の極小自由分解とベッチ数

$R = k [x, y] / (x, y)^{2}$ のような局所アルティン環上で、核を順に求めて極小自由分解を作れる。ベッチ数 $β_{i} = dim_{k} Tor_{i}^{R} (M, k)$ の増え方（例: $m ≅ k^{2}$ から $β_{i + 1} = 2 β_{i}$ ）を求め、 $Tor_{5}^{R} (R / x R, R / y R)$ のような高次の Tor の位数を求められる

前提

自由分解による Tor・Ext の計算（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（55 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）
剰余環のイデアルと単元の個数（大学数学代数学）
加群のテンソル積（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
$Z$ 上の Tor と Ext （大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
自由分解による Tor・Ext の計算（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）

説明

体 $k$ 上の $R = k [x, y] / (x, y)^{2}$ のように、極大イデアル $m = (x, y)$ がただ 1 つで $m^{2} = 0$ となる有限次元の環の上で、有限生成加群 $M$ の「無駄のない」自由分解（極小自由分解）を、核を 1 段ずつ求めて作れるようになります。各段の自由加群の階数 $β_{i}$ がベッチ数で、 $β_{i} = dim_{k} Tor_{i}^{R} (M, k)$ が成り立ちます。最初の核を覆ったあとは $m ≅ k^{2}$ であることから倍々に増え、 $i \geq 1$ で $β_{i + 1} = 2 β_{i}$ 、つまり $β_{i} = 2^{i - 1} β_{1}$ となります（ $M = k$ なら $β_{i} = 2^{i}$ 。 $i = 0$ では一般に成り立たず、たとえば $M = R / x R$ では $β_{0} = β_{1} = 1$ ）。これを使うと、高次の Tor の次元や（ $k$ が有限体のときの）位数を、巨大な行列を扱わずに求められます。

なぜそうしてよいのか

記号を準備します。 $R = k [x, y] / (x, y)^{2}$ は $k$ 上 $1, x, y$ を基底とする 3 次元の環で、 $m = (x, y) = k x \oplus k y$ は $m^{2} = 0$ を満たします。 $m$ に属さない元 $a + b x + cy$ （ $a \neq = 0$ ）は、 $(a + b x + cy) \cdot a^{- 2} (a - b x - cy) = 1$ より単元です。 $m N = 0$ となる加群 $N$ は $R / m = k$ 上のベクトル空間にすぎないので、 $N ≅ k^{b}$ です。

生成元の最小個数. 有限生成加群 $N$ について、元 $n_{1}, \dots, n_{b}$ の像が $N / m N$ の $k$ 基底になっているとします。 $L = \sum R n_{l}$ とおくと $N = L + m N$ です。両辺に $m$ を掛けると $m N = m L + m^{2} N = m L \subseteq L$ となり、よって $N = L$ です。逆に、 $N$ を生成する元の像は $N / m N$ を張るので、生成元は少なくとも $dim_{k} N / m N$ 個必要です。そこで各段で $b = dim_{k} N / m N$ とおき、最小個数の生成元で $R^{b} \to N$ と覆います。すると核は $m R^{b}$ に含まれます（核の元 $(r_{1}, \dots, r_{b})$ を $mod m$ で見ると、 $N / m N$ の基底の間の 1 次関係になるので $r_{l} \in m$ ）。このように各段を最小個数で覆った分解を極小自由分解といい、その微分の行列成分はすべて $m$ に入ります。

$i \geq 1$ で倍々に増える理由. 最初の核 $K_{1}$ は $K_{1} \subseteq m F_{0}$ を満たすので、 $m^{2} = 0$ より $m K_{1} = 0$ となり、 $K_{1} ≅ k^{β_{1}}$ です。 $β_{1} = dim_{k} K_{1}$ は $M$ によって決まり、 $β_{0}$ の 2 倍とは限りません。一方、 $k^{b}$ を $R^{b} \to k^{b}$ （各成分を $mod m$ で落とす写像）で覆うと、核はちょうど $m R^{b} = m^{\oplus b}$ になります。これも $m$ で消える $2 b$ 次元の空間 $k^{2 b}$ です。したがって 2 段目以降は「 $k^{b}$ を覆うと核が $k^{2 b}$ 」の繰り返しになり、 $i \geq 1$ で $β_{i + 1} = 2 β_{i}$ となります。最後に、分解 $F_{∙}$ に $\otimes_{R} k$ を施すと $F_{i} \otimes k = k^{β_{i}}$ です。微分の成分は $m$ に入るので、 $\otimes k$ で 0 になります。微分が 0 の複体のホモロジーは各項そのものなので、 $Tor_{i}^{R} (M, k) ≅ k^{β_{i}}$ です。 $k$ 以外の $N$ との Tor は、この具体的な分解に $N$ をテンソルし、次元定理で核と像の次元を数えて求めます。

手順

$β_{0} = dim_{k} M / m M$ を求め、 $M / m M$ の基底に持ち上がる元で $F_{0} = R^{β_{0}} \to M$ を作る
最初の核 $K_{1}$ の次元を $dim_{k} K_{1} = 3 β_{0} - dim_{k} M$ （ $dim_{k} R = 3$ と次元定理）で求める。 $K_{1} \subseteq m F_{0}$ かつ $m^{2} = 0$ より $K_{1} ≅ k^{β_{1}}$ 、 $β_{1} = dim_{k} K_{1}$ である
$K_{1}$ の $k$ 基底を使って $F_{1} = R^{β_{1}} \to K_{1}$ を作る。以降は $R^{b} \to k^{b}$ の核が $m R^{b} ≅ k^{2 b}$ であることを繰り返し使い、 $β_{i} = 2^{i - 1} β_{1}$ （ $i \geq 1$ ）を得る
極小自由分解では微分の成分が $m$ に入るので、 $Tor_{i}^{R} (M, k) ≅ k^{β_{i}}$ 、つまり $dim_{k} Tor_{i}^{R} (M, k) = β_{i}$ と読む（ $k = F_{q}$ なら位数は $q^{β_{i}}$ ）
$N \neq = k$ との Tor が必要なら、作った分解の微分（ $x, y$ を成分にもつ行列）に $N$ をテンソルし、各段で $dim ker - dim Im$ を次元定理で計算する

例題

$k$ を体とし、 $R = k [x, y] / (x, y)^{2}$ , $M = R / x R$ とする。 $dim_{k} Tor_{4}^{R} (M, k)$ を求めよ。ただし $k$ は $R / (x, y)$ と同一視した $R$ 加群とする。

例題の解答

$R$ の $k$ 基底は $1, x, y$ で、 $m = (x, y)$ は $m^{2} = 0$ を満たす。 $x R = {x (a + b x + cy)} = k x$ なので、 $M = R / x R$ は $1 ˉ, y ˉ$ を基底とする 2 次元の空間である。

手順 1: $m M$ は $y ˉ$ で張られるので $M / m M ≅ k$ 、 $β_{0} = 1$ である。 $F_{0} = R \to M$ , $1 \mapsto 1 ˉ$ とする。

手順 2: 核は $K_{1} = x R = k x$ で、 $dim_{k} K_{1} = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ と一致する。 $m K_{1} = 0$ なので $K_{1} ≅ k$ 、 $β_{1} = 1$ である（ここでは $β_{1} = β_{0}$ で、倍にはなっていない）。

手順 3: $F_{1} = R \to K_{1}$ , $1 \mapsto x$ （ $R$ 上では $x$ 倍写像）とする。その核は ${r : r x = 0} = m ≅ k^{2}$ なので $β_{2} = 2$ である。以降、 $R^{b} \to k^{b}$ の核は $m R^{b} ≅ k^{2 b}$ なので、 $β_{3} = 4$ , $β_{4} = 8$ となる。すなわち極小自由分解は
$\dots \to R^{8} \to R^{4} \to R^{2} (x y) R x R \to M \to 0$
で、 $β_{i} = 2^{i - 1}$ （ $i \geq 1$ ）である。

手順 4: 微分の成分はすべて $m$ に入るので、 $\otimes_{R} k$ をとると微分は 0 になり、 $Tor_{4}^{R} (M, k) ≅ k^{β_{4}} = k^{8}$ である。よって $dim_{k} Tor_{4}^{R} (M, k) = 8$ 。

答え: $8$

よくある誤り

$M$ の $k$ 基底をそのまま生成元にして、極小でない分解の階数をベッチ数と読んでしまう誤り。 $M = R / x R$ を $R^{2} \to M$ （ $e_{1} \mapsto 1 ˉ$ , $e_{2} \mapsto y ˉ$ ）で覆うと階数は 2 になるが、 $y ˉ = y \cdot 1 ˉ$ なので無駄がある。正しくは $β_{0} = dim_{k} M / m M = 1$ で、各段を $dim_{k} N / m N$ 個の生成元で覆う
$R^{b} \to k^{b}$ の核を $k^{b}$ と考えて、 $β_{i} (k) = 1$ のように増えないとしてしまう誤り。正しくは $R \to k$ の核は $m = k x \oplus k y ≅ k^{2}$ で、一般に $R^{b} \to k^{b}$ の核は $m R^{b} ≅ k^{2 b}$ （次元 $3 b - b$ ）なので、 $β_{i} (k) = 2^{i}$ となる
倍々の規則を $i = 0$ にまで当てはめて $β_{1} = 2 β_{0}$ としてしまう誤り。たとえば $M = R / x R$ で $β_{1} = 2$ , $β_{4} = 16$ とするのは誤りである。最初の核 $K_{1}$ の次元は $M$ ごとに $dim_{k} K_{1} = 3 β_{0} - dim_{k} M$ で求める必要があり（ $R / x R$ なら $β_{1} = 1$ ）、倍々になるのは $i \geq 1$ の $β_{i + 1} = 2 β_{i}$ だけ。したがって $β_{4} = 2^{3} β_{1} = 8$
$N \neq = k$ のときにも $β_{i}$ をそのまま $dim Tor_{i}^{R} (M, N)$ と答えてしまう誤り。 $N = k$ なら微分が 0 なので次元は $β_{i}$ そのものだが、 $N = R / y R$ などでは $x$ が $x ˉ \neq = 0$ に移るので微分が 0 にならない。たとえば $Tor_{1}^{R} (R / x R, R / y R)$ は $ker (N x N) / Im (N^{2} (x y) N) = k x ˉ / k x ˉ = 0$ のように、次元定理で計算し直す

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。 $F_{5}$ を $5$ 元体とし、
$R = F_{5} [x, y] / (x^{2}, y^{2})$
とおく（以下、 $x, y$ の $R$ における像も同じ文字で表す）。 $R$ は極大イデアル $m = (x, y)$ をもつ局所アルティン環であり、剰余体を $k = R / m ≅ F_{5}$ とする。 $k$ の $R$ 上の第 $2$ ベッチ数
$β_{2} = dim_{k} Tor_{2}^{R} (k, k)$
を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の難問レベル）
環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。 $F_{3}$ を 3 元体とし，
$R = F_{3} [x, y] / (x^{2}, x y, y^{2})$
とおく（以下， $x, y$ の $R$ における像も同じ文字で表す）。 $R$ 加群 $M = R / x R$ ， $N = R / y R$ に対し，有限アーベル群 $Tor_{5}^{R} (M, N)$ の位数を求めよ。