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可換環論・ホモロジー代数の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学可換環論・ホモロジー代数

$k$ を体とし，次数付き多項式環 $S = k [x, y, z]$ （ $x, y, z$ の次数はすべて $1$ ）の斉次イデアル $I = (x^{2}, x y)$ を考える。次数付き環 $A = S / I$ のヒルベルト関数を $H_{A} (n) = dim_{k} A_{n}$ （ $n$ は $0$ 以上の整数， $A_{n}$ は $A$ の $n$ 次斉次成分）とする。十分大きいすべての整数 $n$ に対して $H_{A} (n) = P (n)$ をみたす多項式 $P (n)$ （ヒルベルト多項式）を求めよ。

この問題で使うもの

射影多様体のヒルベルト多項式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$I$ は単項式イデアルなので， $A_{n}$ の基底は $I$ に入らない $n$ 次単項式である． $dim_{k} S_{n}$ と $dim_{k} I_{n}$ を数えよう．

ヒント 2

$I = x \cdot (x, y)$ と書ける． $I_{n}$ の単項式は $x$ と $(x, y)$ に属する $n - 1$ 次単項式の積に対応する．

ヒント 3

$dim_{k} S_{n} = (2 n + 2)$ ， $n \geq 1$ で $dim_{k} I_{n} = (2 n + 1) - 1$ である．差を計算して整理しよう．

答えと解説

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n + 2

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解説を読む

方針. $I$ は単項式イデアルなので， $A_{n}$ の基底は $I$ に属さない $n$ 次単項式であり，
$H_{A} (n) = dim_{k} S_{n} - dim_{k} I_{n}$
である．

$dim_{k} S_{n}$ . 3 変数の $n$ 次単項式の個数は
$dim_{k} S_{n} = (2 n + 2) .$

$dim_{k} I_{n}$ . $I = (x^{2}, x y) = x \cdot (x, y)$ なので， $n \geq 1$ のとき $I_{n}$ の単項式は「 $x \cdot m$ （ $m$ は $(x, y)$ に属する $n - 1$ 次単項式）」の形の単項式とちょうど 1 対 1 に対応する． $n - 1$ 次単項式は $(2 n + 1)$ 個あり，そのうち $(x, y)$ に属さないのは $z^{n - 1}$ の 1 個だけなので
$dim_{k} I_{n} = (2 n + 1) - 1 (n \geq 1) .$

ヒルベルト関数. $n \geq 1$ のとき
$H_{A} (n) = (2 n + 2) - (2 n + 1) + 1 = (n + 1) + 1 = n + 2.$
（ $n = 0$ では $H_{A} (0) = 1$ で，式 $n + 2$ とは一致しない．）

検算: $n = 2$ では 6 個の 2 次単項式のうち $x^{2}, x y$ が $I$ に入るので $H_{A} (2) = 4$ ； $n = 3$ では 10 個のうち $x^{3}, x^{2} y, x y^{2}, x^{2} z, x y z$ の 5 個が $I$ に入るので $H_{A} (3) = 5$ ．いずれも $n + 2$ と一致する．

よってヒルベルト多項式は
$P (n) = n + 2.$

別解

$I = (x^{2}, x y) = x \cdot (x, y)$ 。 $x$ は $S$ の非零因子なので、 $x$ 倍写像により $I_{n} ≅ (x, y)_{n - 1}$ （ $(x, y)$ の $n - 1$ 次成分）。

$(x, y)$ は $S$ の中で $x$ か $y$ を含む単項式で張られ、 $S / (x, y) = k [z]$ の $m$ 次成分は $m \geq 0$ で 1 次元。よって $m \geq 0$ で
$dim_{k} (x, y)_{m} = (2 m + 2) - 1.$
$n \geq 1$ のとき $m = n - 1 \geq 0$ なので
$dim_{k} I_{n} = (2 n + 1) - 1.$

ゆえに $n \geq 1$ で
$H_{A} (n) = (2 n + 2) - (2 n + 1) + 1 = (n + 1) + 1 = n + 2.$

検算: $n = 2$ では $S_{2}$ の単項式は 6 個、 $I_{2}$ は $x^{2}, x y$ の 2 個で $H_{A} (2) = 4 = 2 + 2$ 。 $n = 3$ では $S_{3}$ は 10 個、 $I_{3}$ は $x^{3}, x^{2} y, x^{2} z, x y^{2}, x y z$ の 5 個（ $(2 4) - 1 = 5$ ）で $H_{A} (3) = 5 = 3 + 2$ 。

したがってヒルベルト多項式は $P (n) = n + 2$ 。

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