可換環論・ホモロジー代数の問題

まず $\mathfrak{p}$ について、$xz,yz\in (x,y,z-1)$ なので $\mathfrak{p}$ は $\mathbb{C}[x,y,z]$ の極大イデアル $\mathfrak{m}=(x,y,z-1)$ の像であり、$R/\mathfrak{p}\cong \mathbb{C}$ だから $\mathfrak{p}$ は $R$ の極大イデアル（特に素イデアル）である。

$R_{\mathfrak{p}}$ において $z$ は単元である。実際 $z\in \mathfrak{p}$ とすると $1=z-(z-1)\in \mathfrak{p}$ となり矛盾するので $z\notin \mathfrak{p}$。すると $R_{\mathfrak{p}}$ で $xz=0$ の両辺に $z^{-1}$ を掛けて $x=0$、同様に $y=0$ となる。よって
$$R_{\mathfrak{p}}\cong {\left(\mathbb{C}[x,y,z]/(x,y)\right)}_{\mathfrak{m}}\cong \mathbb{C}[z{]}_{(z-1)}$$
である（正確には、局所化は剰余と可換で、$(xz,yz{)}_{\mathfrak{m}}=(x,y{)}_{\mathfrak{m}}$ となる）。

$\mathbb{C}[z{]}_{(z-1)}$ は単項イデアル整域 $\mathbb{C}[z]$ を極大イデアル $(z-1)$ で局所化した離散付値環で、素イデアルは $0⊊(z-1)$ の 2 つだけである。よってクルル次元は $1$。

（幾何的には、$R$ に対応する図形は平面 $z=0$ と直線 $x=y=0$（$z$ 軸）の和集合で、点 $(0,0,1)$ の近くには $z$ 軸しか通らないので、そこでの局所次元は $1$ である。ちなみに $R$ 自身のクルル次元は $2$。）

$R_{\mathfrak{p}}$ では $z-1\notin \mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ なので $z=(z-1)+1$ は単元（$z\notin \mathfrak{p}$）。

したがって $xz=0$ より $x=0$、$yz=0$ より $y=0$。$R_{\mathfrak{p}}=(\mathbb{C}[x,y,z]/(xz,yz){)}_{\mathfrak{p}}\cong (\mathbb{C}[x,y,z]/(x,y){)}_{(x,y,z-1)}=\mathbb{C}[z{]}_{(z-1)}$。

これは $\mathbb{C}[z]$ の極大イデアル $(z-1)$ での局所化で、1 次元の離散付値環。クルル次元は 1。

検算: $\mathfrak{p}$ は $V(z)$ 上の平面 $\{z=0\}$ には属さず、直線 $\{x=y=0\}$（$z$ 軸）上の点 $(0,0,1)$ に対応する。この点の近傍で $R$ は $z$ 軸に一致するので次元 1。