可換環論・ホモロジー代数の問題

使う事実. $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルは次のどれかである。
- $(0)$
- $(p)$（$p$ は素数）
- $(f)$（$f$ は $\mathbb{Z}$ 上既約で次数 $1$ 以上の原始多項式）
- $(p,g)$（$p$ は素数、$g$ は ${\mathbb{F}}_p$ 上既約な多項式の持ち上げ）

このうち $P\cap \mathbb{Z}=\{0\}$ となるのは $(0)$ と $(f)$、$P\cap \mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ となるのは $(p)$ と $(p,g)$ である。

手順 1: $P\cap \mathbb{Z}=\{0\}$ の場合. $(0)$ は $x^4-1$ を含まない。$(f)$ が $x^4-1$ を含むのは、$f$ が $x^4-1$ を割り切るとき、つまり $f$ が $x^4-1$ の $\mathbb{Z}$ 上の既約因子のときである。
$$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$$
で、$x^2+1$ は有理数の根をもたない 2 次式なので $\mathbb{Q}$ 上既約（モニックなので $\mathbb{Z}$ 上でも既約）。よって $(x-1),(x+1),(x^2+1)$ の 3 個。

手順 2: $P\cap \mathbb{Z}=5\mathbb{Z}$ の場合. $(5)$ は $x^4-1$ を含まない（$x^4-1$ の係数は $5$ の倍数でない）。$(5,g)$ が $x^4-1$ を含むのは、${\mathbb{F}}_5[x]$ で $g$ が $x^4-1$ を割り切るときである。${\mathbb{F}}_5$ では $2^2=4\equiv -1$ なので $x^2+1=(x-2)(x+2)=(x-2)(x-3)$ となり、
$$x^4-1\equiv (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(\mathrm{mod}5).$$
（実際、フェルマーの小定理より $a=1,2,3,4$ はすべて $a^4\equiv 1$ を満たす。）よって $(5,x-1),(5,x-2),(5,x-3),(5,x-4)$ の 4 個。

手順 3: 合計. $3+4=7$ 個。

$\mathbb{Z}[x]$ の素イデアル $P$ は $P\cap \mathbb{Z}$ で分類する。\n\n(i) $P\cap \mathbb{Z}=0$ のとき: $P$ は $\mathbb{Q}[x]$ の素イデアル $P\mathbb{Q}[x]$ と一対一に対応する（局所化 $\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ による対応）。$x^4-1\in P$ より $P\mathbb{Q}[x]\ni x^4-1$。$\mathbb{Q}[x]$ は PID で $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ は既約分解なので、$x^4-1$ を含む素イデアルは $(x-1),(x+1),(x^2+1)$ の 3 個。$\mathbb{Z}[x]$ 側では $P=(x-1),(x+1),(x^2+1)$（いずれも $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルで $\mathbb{Z}$ との共通部分は 0）。よって 3 個。\n\n(ii) $P\cap \mathbb{Z}=5\mathbb{Z}$ のとき: $5\in P$ なので $P$ は $\mathbb{Z}[x]/(5)={\mathbb{F}}_5[x]$ の素イデアルと対応し、$P\cap \mathbb{Z}=5\mathbb{Z}$ は $P\ne$ 全体（かつ $1\notin P$）から従う。${\mathbb{F}}_5$ 上 $x^4-1=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$（$2^4=16\equiv 1$, $3^4=81\equiv 1$, $4^4=256\equiv 1$）。$x^4-1$ を含む素イデアルは $(x-a)$、$a=1,2,3,4$ の 4 個。$\mathbb{Z}[x]$ では $(5,x-a)$ の 4 個。\n\n合計 $3+4=7$。\n確認: 条件 (2) は $P\cap \mathbb{Z}$ が $0$ か $5\mathbb{Z}$ のものに限るが、$P\cap \mathbb{Z}=0$ の素イデアルはすべて高さ 1 で上の 3 個、$5\mathbb{Z}$ のものは極大イデアル 4 個で重複はない。