代数学の問題

$K$ を体、$L$ を $K$ の有限次拡大体とし、$m=[L:K]$ とおく。$f(x)\in K[x]$ を $K$ 上既約な $n$ 次多項式（$n$ は正の整数）とし、$e=\gcd (m,n)$ とおく。$f(x)$ を $L[x]$ の多項式とみて
$$f(x)=c{p}_1(x)p_2(x)\cdots p_r(x)(c\in L,c\ne 0)$$
と、$L$ 上既約なモニック多項式 $p_1(x),\dots ,p_r(x)\in L[x]$（同じものがあってもよい）の積に分解する。このとき、因子の個数 $r$ は $r\le e$ を満たすことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $L[x]$ の次数 $1$ 以上の多項式は、上のように $L$ 上既約なモニック多項式の積に分解できる
- 拡大次数の連鎖律: 体の拡大 $F\subset E\subset M$ について $[M:F]=[M:E][E:F]$（右辺の 2 つが有限ならば左辺も有限であり、左辺が有限ならば右辺の 2 つも有限である）
- 体 $F$ 上の多項式 $g(x)$（次数 $1$ 以上）に対して、$g(x)$ が根をもつような $F$ の拡大体が存在する
- $\alpha$ が体 $F$ 上代数的ならば、$[F(\alpha ):F]$ は $\alpha$ の $F$ 上の最小多項式の次数に等しく、$\alpha$ を根にもつ $F[x]$ の多項式はすべて最小多項式で割り切れる

$q$ を素数のべきとし、${\mathbb{F}}_q$ を $q$ 個の元からなる有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の多項式が既約であるとは、次数が $1$ 以上で、次数 $1$ 以上の 2 つの多項式の積に表せないことをいう。このとき、${\mathbb{F}}_q$ 上のモニックな $3$ 次既約多項式の個数は
$$\frac{q^3-q}{3}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q[x]$ において、次数 $1$ 以上のモニック多項式はモニックな既約多項式の積に（並べ方を除いて）ただ 1 通りに分解されること（素因数分解の一意性）は用いてよい。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^6+3)(x^2+1)$$
の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $8$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）$f(x)$ のうち、原始多項式でないものの個数を求めよ。ただし、${\mathbb{F}}_2$ 上の $8$ 次既約多項式 $f(x)$ が原始多項式であるとは、$f(x)$ の根（元の個数が $2^8=256$ の有限体 ${\mathbb{F}}_{256}$ の中の根）が乗法群 ${\mathbb{F}}_{256}^{\times }$ の生成元であることをいう。

有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の多項式
$$f(x)=(x^3-5)(x^4-3)$$
の $\mathbb{C}$ 内での最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。