複素数平面の問題

1. 絶対値が 1 の 3 数の和が 1 になる条件

$|a|=|b|=|c|=1$ のとき、$\overline{a}=\frac{1}{a}$ などが成り立つ。$a+b+c=1$ の両辺の共役複素数をとると
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\text{すなわち}ab+bc+ca=abc$$
そこで $p=abc$ とおくと、解と係数の関係より $a,b,c$ は $t$ の 3 次方程式
$$t^3-(a+b+c)t^2+(ab+bc+ca)t-abc=t^3-t^2+pt-p=0$$
の 3 つの解である。左辺は $(t-1)(t^2+p)$ と因数分解できるので、$a,b,c$ のうち 1 つは $1$ で、残りの 2 つは $t^2=-p$ の 2 つの解、すなわち互いに符号が逆の複素数 $w,-w$ である。

逆に、$|w|=1$ である任意の $w$ について、$1,w,-w$ を並べた組は絶対値がすべて $1$ で和が $1$ になる。

よって、求める組は「$1,w,-w$ を並べたもの（$w,-w\in U$）」と一致する。

2. $U$ の性質

$U$ は $\cos \frac{2\pi k}{2026}+i\sin \frac{2\pi k}{2026}$ $(k=0,\dots ,2025)$ の $2026$ 個からなる。$-1=\cos \pi +i\sin \pi$ の偏角 $\pi =\frac{1013\pi }{1013}$ も $\frac{\pi }{1013}$ の整数倍なので、$w\in U$ ならば $-w\in U$ である。したがって、$U$ の $2026$ 個の要素は $\{w,-w\}$ という $1013$ 組の対に分かれる。

3. 数える

$1,w,-w$ の多重集合は、対 $\{w,-w\}$ を 1 つ選ぶごとに 1 つ決まり、異なる対からは異なる多重集合ができる。
- 対 $\{1,-1\}$ を選んだとき：$1,1,-1$ を並べることになり、並べ方は $-1$ の位置を選ぶ $3$ 通り。
- それ以外の $1012$ 組の対を選んだとき：$1,w,-w$ はすべて異なるので、並べ方は $3!=6$ 通り。

よって求める個数は
$$3+6\times 1012=6075$$

$k=0,1,\dots ,2025$ の 2026 個は相異なる複素数で、$U$ は 1 の $2026$ 乗根全体（$2026=2\cdot 1013$）。$-1=\cos \frac{1013\pi }{1013}+i\sin \frac{1013\pi }{1013}\in U$ で、$U$ は $-1$ 倍で閉じている。

$a+b+c=1$、$|a|=|b|=|c|=1$ のとき $\bar{a}=\frac{1}{a}$ などより、両辺の共役をとって $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$。通分して $ab+bc+ca=abc$。
よって $(1-a)(1-b)(1-c)=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=1-1+0=0$。したがって $a,b,c$ のうち少なくとも 1 つは $1$。

$a=1$ のとき $b+c=0$ より $c=-b$。逆に $a=1,c=-b$ なら $a+b+c=1$ で、$b\in U$ なら $-b\in U$ なので、$b$ は $U$ の 2026 個すべてがとれる。

$A$: $a=1,b+c=0$ の組、$B$: $b=1,a+c=0$ の組、$C$: $c=1,a+b=0$ の組とすると、それぞれ $2026$ 個。
$A\cap B$: $a=b=1$ かつ $c=-1$ の $(1,1,-1)$ のみ（1 個）。同様に $A\cap C=\{(1,-1,1)\}$、$B\cap C=\{(-1,1,1)\}$。$A\cap B\cap C=\varnothing$（$a=b=c=1$ は和が $3$）。

よって個数は $3\cdot 2026-3=6075$。

検算: $b=1$ の組で $a=1$ のとき $c=-1$、確かに $(1,1,-1)$ が $A$ と $B$ に重複して数えられている。他の組（例 $(1,\omega ,-\omega )$）は 3 つの集合のうち 1 つにのみ属する。