複素数平面の問題

$z=0$ とすると左辺は $(-1{)}^6=1$、右辺は $0$ となり成り立たないので、解はすべて $z\ne 0$ である。両辺を $z^6$ で割ると
$${\left(\frac{z-1}{z}\right)}^6=64$$
となる。$w=\frac{z-1}{z}$ とおくと $w^6=64$ であり、これは方程式 $w^n=a$ の形である。$64=2^6$ より、その解は
$$w=2\left(\cos \frac{k\pi }{3}+i\sin \frac{k\pi }{3}\right)(k=0,1,2,3,4,5)$$
の異なる $6$ 個である。$w=\frac{z-1}{z}=1-\frac{1}{z}$ より $z=\frac{1}{1-w}$ であり、$|w|=2$ なので $w\ne 1$ となり、$z$ は確かに定まる。$w$ が異なれば $z$ も異なるから、もとの方程式の解は異なる $6$ 個である。

どの解についても $|w|=2$、すなわち
$$\left|\frac{z-1}{z}\right|=2\text{つまり}|z-1|=2|z|$$
が成り立つ。$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおいて両辺を $2$ 乗すると
$$(x-1{)}^2+y^2=4(x^2+y^2)$$
$$3x^2+3y^2+2x-1=0$$
$$x^2+y^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$$
$${\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2+y^2=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$
よって $6$ 個の解を表す点はすべて、中心 $-\frac{1}{3}$、半径 $\frac{2}{3}$ の円周上にある。異なる $3$ 点以上を通る円はただ $1$ つに決まるので、求める円はこの円である。

（確認）$w=2$ のとき $z=\frac{1}{1-2}=-1$、$w=-2$ のとき $z=\frac{1}{3}$ であり、どちらも $\left|z+\frac{1}{3}\right|=\frac{2}{3}$ を満たす。

したがって、円の半径は $\frac{2}{3}$ である。

$z=0$ は解でないので $z\ne 0$。両辺を $z^6$ で割ると ${\left(\frac{z-1}{z}\right)}^6=64$。両辺の絶対値をとると ${\left|\frac{z-1}{z}\right|}^6=64$ より $|z-1|=2|z|$。$z=x+yi$ とすると $(x-1{)}^2+y^2=4(x^2+y^2)$、すなわち $3x^2+3y^2+2x-1=0$。整理して ${\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2+y^2=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$。よって6個の解はすべて中心 $-\frac{1}{3}$、半径 $\frac{2}{3}$ の円周上にある。確認: $\frac{z-1}{z}=2\omega$（${\omega }^6=1$）より $z=\frac{1}{1-2\omega }$ で6個の異なる解。$\omega =1$ のとき $z=-1$ で、中心 $-\frac{1}{3}$ からの距離は $\frac{2}{3}$ となり一致する。