表現論の問題

1. 共役類の個数. $G$ の元を位数で分類する。
- 単位元 $I$：$1$ 個。
- $-I$：位数 $2$ の元はこれだけ（$A^2=I$, $\det A=1$ なら $A=\pm I$）で、中心元。
- 位数 $4$ の元：$A^2=-I$ をみたす元で、跡が $0$ のもの。$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$, $-a^2-bc=1$ を数えると $6$ 個。これらと $\pm I$ を合わせた $8$ 元が Sylow $2$ 部分群 $Q\cong Q_8$ をなし、ただ $1$ つなので正規部分群である。
- 残り $24-8=16$ 個は位数 $3$ の元 $8$ 個（跡 $-1$）と位数 $6$ の元 $8$ 個（跡 $1$, 位数 $3$ の元の $-1$ 倍）。

位数 $4$ の $6$ 元：$Q_8$ の中で $i\sim -i$ であり、さらに位数 $3$ の元による共役は $i\to j\to k$ を巡回させるので、$6$ 元すべてが共役で $1$ 類をなす。

位数 $3$ の元 $u$ の中心化群は $⟨u⟩\times \{\pm I\}$（位数 $6$）である（$u$ と可換な元は $u$ のジョルダン標準形から $\pm \left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$ 型に共役なものに限られ、$6$ 個）。よって $u$ の共役類の大きさは $24/6=4$ で、位数 $3$ の $8$ 元は $4$ 元ずつの $2$ 類に分かれる。位数 $6$ の元も $-u$ の形なので同様に $2$ 類。

以上より類の大きさは $1,1,6,4,4,4,4$（和 $24$）で、共役類は $7$ 個。したがって既約表現も $7$ 個。

2. $1$ 次元表現の個数. $G/Q\cong C_3$ は可換なので $[G,G]\subseteq Q$。一方、位数 $3$ の元 $x$ で $xi{x}^{-1}=j$ となるものをとると $[x,i]=j{i}^{-1}=j(-i)=k$ となり $k\in [G,G]$。同様に $i,j\in [G,G]$ なので $[G,G]=Q$。よって $|G/[G,G]|=3$ で、$1$ 次元表現はちょうど $3$ 個。

3. 残りの次元. 残り $4$ 個の既約表現の次元 $d\ge 2$ は
$$d_4^2+d_5^2+d_6^2+d_7^2=24-3=21$$
をみたす。各 $d_i^2\in \{4,9,16\}$（$d_i^2\le 21$）で、$4$ 項の和が $21$ になるのは $4+4+4+9$ のみ。よって次元は $2,2,2,3$。

（実際、$3$ 次元表現は $G\to G/\{\pm I\}\cong A_4$ を経由するもの、$2$ 次元表現は自然表現とそれに $1$ 次元表現をテンソルしたもの $3$ つである。）

答え：$(1,1,1,2,2,2,3)$

$SL(2,3)$ の位数は 24 で、共役類は 7 個ある。したがって複素既約表現も 7 個ある。

共役類の代表と大きさ: 単位元 1 個、$-I$ 1 個、位数 4 の元 6 個、位数 3 の元は 2 類で 4 個ずつ、位数 6 の元は 2 類で 4 個ずつ。合計は $1+1+6+4+4+4+4=24$ で一致する。

$G/Q_8\cong C_3$ より、1 次元表現は 3 個ある。$G$ の交換子群は $Q_8$ で、$G^{ab}=C_3$ である。

残りの 4 個の次元を $a,b,c,d$ とすると、$3+a^2+b^2+c^2+d^2=24$ より $a^2+b^2+c^2+d^2=21$ となる。既約表現は全部で 7 個なので、1 次元 3 個のほかに 4 個ある。

既知の構成は次のとおり。$Q_8$ の 2 次元表現が $G$ に拡張され、$C_3$ の 1 次元指標をテンソルして 2 次元表現が 3 個できる。また $Q_8$ の非自明な 1 次元指標 3 個は $G$ の作用で巡回的に入れ替わるので、誘導表現は 3 次元既約表現になる。

確認: $3\cdot 1+3\cdot 4+9=24$。よって 4 個の次元は $2,2,2,3$ で、$4+4+4+9=21$ も一致する。

したがって次元は $(1,1,1,2,2,2,3)$ である。