指標の直交関係と重複度

$G=S_3$ を $3$ 次対称群とする。$G$ の共役類は単位元 $e$ のみからなる類（$1$ 元）、互換の類（$3$ 元）、長さ $3$ の巡回置換の類（$2$ 元）の $3$ つであり、$G$ の複素既約指標は次の表の ${\chi }_1$（自明指標）、${\chi }_2$（符号指標）、${\chi }_3$ の $3$ つである。

$G$ のある $5$ 次元複素表現 $V$ の指標 $\chi$ が
$$\chi (e)=5,\chi ((12))=1,\chi ((123))=-1$$
であるとする。$V$ を既約表現の直和に分解したときの ${\chi }_1,{\chi }_2,{\chi }_3$ に対応する既約表現の重複度を $m_1,m_2,m_3$ とするとき、組 $(m_1,m_2,m_3)$ をこの順に求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)\in G$ が生成する位数 $5$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$\zeta =e^{2\pi i/5}$ とおき、$H$ の $1$ 次元複素表現 $\chi$ を $\chi (\sigma )=\zeta$ で定め、その誘導表現を ${\mathrm{Ind}}_H^G\chi$ とする。また、$G$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$W=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考え、$W^{\otimes 3}=W\otimes W\otimes W$ に $G$ を対角的に作用させる。このとき
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G\left({\mathrm{Ind}}_H^G\chi ,W^{\otimes 3}\right)$$
を求めよ。

自由イオンの軌道角運動量 $L=6$ の多重項（$2L+1=13$ 重に縮退）を考える。このイオンを、正八面体の回転対称性をもつ結晶場の中に置く。対称群は八面体回転群 $O$（位数 $24$）とし、スピンとスピン軌道相互作用は無視する。

$O$ の指標表は次のとおりである（類は $E$, $8C_3$, $3C_2(=C_4^2)$, $6C_4$, $6C_2^{\prime }$ の順）。

$$\begin{array}{cccccc}& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

回転角 $\phi$ の回転に対する、角運動量 $L$ の $2L+1$ 次元表現 $D^{(L)}$ の指標は
$${\chi }^{(L)}(\phi )=\frac{\sin \left((2L+1)\phi /2\right)}{\sin (\phi /2)}(\phi \ne 0),{\chi }^{(L)}(0)=2L+1$$
で与えられる。$D^{(6)}$ を $O$ に制限した表現を既約分解したとき、$A_1,A_2,E,T_1,T_2$ が現れる回数をそれぞれ $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ とする。組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ をこの順に求めよ。

軌道角運動量量子数 $l=5$ の $(2l+1)=11$ 重に縮退した 1 電子軌道（スピンとスピン軌道相互作用は無視する）が、正八面体の回転対称性をもつ結晶場（点群 $O$、位数 $24$）の中に置かれた。このとき、$11$ 次元の表現 $D^{(5)}$ は点群 $O$ の既約表現の直和に分解される。点群 $O$ の指標表は次のとおりとする（$C_2$ は 4 回軸まわりの $\pi$ 回転、$C_2^{\prime }$ は 2 回軸まわりの $\pi$ 回転）。

$$\begin{array}{cccccc}O& E& 8C_3& 3C_2& 6C_4& 6C_2^{\prime }\\ A_1& 1& 1& 1& 1& 1\\ A_2& 1& 1& 1& -1& -1\\ E& 2& -1& 2& 0& 0\\ T_1& 3& 0& -1& 1& -1\\ T_2& 3& 0& -1& -1& 1\end{array}$$

$D^{(5)}$ に含まれる既約表現 $A_1,A_2,E,T_1,T_2$ の重複度 $n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2}$ を、この順に組 $(n_{A_1},n_{A_2},n_E,n_{T_1},n_{T_2})$ で求めよ。

$G$ を
$$G=⟨a,b\mid a^7=b^3=1,ba{b}^{-1}=a^2⟩$$
で定まる位数 $21$ の群とする。$G$ の $3$ 次元の複素既約表現 $V$ を $1$ つとる（このような表現は存在する）。$G$ の表現 $V\otimes V$（$G$ は $g\cdot (v\otimes w)=gv\otimes gw$ で作用する）について、$G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$${\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$$
の次元を求めよ。

4 次対称群 $S_4$ は ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する。その部分空間
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
は $S_4$ の 3 次元の既約表現である。テンソル積表現 $V\otimes V$ について、$S_4$ 準同型全体のなす空間
$${\mathrm{End}}_{S_4}(V\otimes V)=\{f:V\otimes V\to V\otimes V\mid f\text{ は線形で }f(\sigma w)=\sigma f(w)(\sigma \in S_4,w\in V\otimes V)\}$$
の $\mathbb{C}$ 上の次元を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、群環 $V=\mathbb{C}[G]$ を、$g\in G$ が基底 $\{e_h\mid h\in G\}$ に $g\cdot e_h=e_{gh{g}^{-1}}$ と作用する $G$ の複素表現（共役表現）とみなす。$G$ 準同型 $V\to V$ 全体のなす $\mathbb{C}$ ベクトル空間 ${\mathrm{End}}_G(V)$ の次元を求めよ。

$S_5$ を $5$ 次対称群とし、$S_5$ が ${\mathbb{C}}^5$ に座標の置換で作用する表現を $P$ とする。$P$ の部分表現
$$V=\{(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{C}}^5\mid x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\}$$
を考える（$\dim V=4$）。$4$ 重テンソル積 $V^{\otimes 4}=V\otimes V\otimes V\otimes V$（$S_5$ は各成分に同時に作用する）を既約分解したとき、自明表現が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}(V^{\otimes 4}{)}^{S_5}$ を求めよ。

$G=S_4$ を $4$ 次対称群とし、$V$ を $G$ の $3$ 次元標準表現、すなわち $G$ が ${\mathbb{C}}^4$ に座標の置換で作用する表現の部分表現
$$V=\{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in {\mathbb{C}}^4\mid v_1+v_2+v_3+v_4=0\}$$
とする。$\sigma =(1234)\in G$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とし、$\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を $\psi (\sigma )=i$（$i$ は虚数単位）で定まる $1$ 次元表現とする。誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ と $V$ のテンソル積表現 $W\otimes V$（$g\in G$ は $g\cdot (w\otimes v)=gw\otimes gv$ と作用する）において、既約表現 $V$ が現れる重複度 ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{Hom}}_G(V,W\otimes V)$ を求めよ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の $5$ 次交代群とし、$\sigma =(12345)$ とする。$H=N_G(⟨\sigma ⟩)$ を $\sigma$ が生成する巡回部分群の $G$ における正規化群とする（$H$ は位数 $10$ の二面体群で、$⟨\sigma ⟩$ を指数 $2$ の部分群として含む）。$\epsilon :H\to \{\pm 1\}\subset {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$⟨\sigma ⟩$ 上で $1$、$H\setminus ⟨\sigma ⟩$ 上で $-1$ をとる $1$ 次元表現とし、
$$U={\mathrm{Ind}}_H^G\epsilon$$
とおく（$\dim U=6$）。$G$ の $5$ 次元の複素既約表現を $W$ とする（$A_5$ の $5$ 次元既約表現は同型を除いてただ $1$ つである）。$G$ の表現 $U\otimes U$ における $W$ の重複度、すなわち $\dim {\mathrm{Hom}}_G(W,U\otimes U)$ を求めよ。

$G=\mathrm{SO}(3)$ とし、各整数 $\ell \ge 0$ に対して $V_{\ell }$ を $G$ の $2\ell +1$ 次元複素既約表現とする（たとえば $\ell$ 次の調和多項式のなす空間）。回転角 $\theta$ の回転における $V_{\ell }$ の指標の値は
$${\chi }_{\ell }(\theta )=\frac{\sin \frac{(2\ell +1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}(\theta \ne 0),{\chi }_{\ell }(0)=2\ell +1$$
であることを用いてよい。

$H\subset G$ を、原点を中心とし各辺が座標軸に平行な立方体を自分自身に移す回転全体のなす部分群（位数 $24$）とする。$H$ は $3$ 本の座標軸（$x$ 軸・$y$ 軸・$z$ 軸）の集合に置換として作用し、これにより全射準同型 $H\to S_3$ が得られる。これと $S_3$ の $2$ 次元複素既約表現を合成して得られる $H$ の $2$ 次元既約表現を $\rho$ とする。

テンソル積表現 $V_5\otimes V_5$ を $H$ に制限した表現における $\rho$ の重複度を求めよ。

$n\ge 3$ を奇数とし、位数 $2n$ の二面体群
$$G=D_n=⟨r,s\mid r^n=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える。部分群 $H=\{1,s\}$ の $1$ 次元複素表現 $\epsilon$ を $\epsilon (s)=-1$ で定め、誘導表現を $V={\mathrm{Ind}}_H^G\epsilon$（$n$ 次元の $G$ の複素表現）とおく。テンソル積表現 $V\otimes V$（$G$ は対角的に作用する）について、$G$ 準同型全体のなす複素ベクトル空間
$${\mathrm{End}}_G(V\otimes V)$$
の次元を $n$ の式で表せ。

$G=A_5$ を $\{1,2,3,4,5\}$ 上の 5 次交代群とし、$H\subset G$ を $5$ を固定する元全体のなす部分群（$H\cong A_4$）とする。$H$ の正規部分群 $K=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ による商 $H/K$ は位数 $3$ の巡回群であり、$\omega =e^{2\pi i/3}$ とおく。$H$ の 1 次元表現 $\psi :H\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$K$ 上で $1$、$\psi ((123))=\omega$ となるものとする。

誘導表現 $U={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$ に対し、$G$ の表現としての自己準同型環の次元
$${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathrm{End}}_G(U\otimes U)$$
を求めよ。ここで $U\otimes U$ には $G$ が対角的に作用する。

$G=S_7$ を $7$ 次対称群とし、$\sigma =(1234567)\in G$ が生成する位数 $7$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。$H$ の $1$ 次元複素表現 $\psi$ を $\psi (\sigma )=e^{2\pi i/7}$ で定め、誘導表現 $W={\mathrm{Ind}}_H^G\psi$（$\dim W=720$）を考える。$G$ の各複素既約表現 $\rho$ に対し、$W$ を既約表現の直和に分解したときの $\rho$ の重複度を $m_{\rho }$ とする。$\rho$ が $G$ の複素既約表現の同型類全体を動くときの和
$$\sum _{\rho }{m}_{\rho }^2$$
を求めよ。

表現・指標はすべて複素数体上の有限次元のものとする。有限群 $K$ 上の複素数値関数 $\alpha ,\beta$ に対し、内積を $⟨\alpha ,\beta {⟩}_K=\frac{1}{|K|}{\sum }_{k\in K}\alpha (k)\overline{\beta (k)}$ で定める。群 $G$ の線形指標とは、群準同型 $G\to {\mathbb{C}}^{\times }$（次数 $1$ の指標）のこととする。

$G$ を有限群、$\chi$ を $G$ の既約指標とし、
$$L=\{\lambda \mid \lambda \text{ は }G\text{ の線形指標で、すべての }g\in G\text{ について }\chi (g)\lambda (g)=\chi (g)\}$$
とおく。このとき、$L$ の元の個数 $|L|$ は $\chi (1{)}^2$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 指標の第 1 直交関係: $G$ の既約指標 $\psi ,{\psi }^{\prime }$ について、$\psi ={\psi }^{\prime }$ なら $⟨\psi ,{\psi }^{\prime }{⟩}_G=1$、$\psi \ne {\psi }^{\prime }$ なら $⟨\psi ,{\psi }^{\prime }{⟩}_G=0$
- クリフォードの定理: $K$ が $G$ の正規部分群で $\chi$ が $G$ の既約指標ならば、正の整数 $e,t$ と、互いに相異なる $K$ の既約指標 ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_t$ で、すべて同じ次数をもち、${\chi }_K=e({\theta }_1+\cdots +{\theta }_t)$ をみたすものが存在する（${\chi }_K$ は $\chi$ の $K$ への制限）