表現論の問題

1. 共役表現の指標. $V$ は置換表現なので、その指標 ${\chi }_V(g)$ は $g$ が固定する基底の個数、すなわち $gh{g}^{-1}=h$ となる $h$ の個数であり、
$${\chi }_V(g)=|C_G(g)|(C_G(g)\text{ は中心化群}).$$
$S_4$ の共役類と中心化群の位数は次のとおり。

2. 次元の計算. $\dim {\mathrm{End}}_G(V)=⟨{\chi }_V,{\chi }_V⟩=\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}|{\chi }_V(g){|}^2$ なので
$$\dim {\mathrm{End}}_G(V)=\frac{1}{24}\left(1\cdot 24^2+6\cdot 4^2+3\cdot 8^2+8\cdot 3^2+6\cdot 4^2\right)=\frac{576+96+192+72+96}{24}=\frac{1032}{24}=43.$$

3. 検算（既約分解）. 既約指標 $\chi$ の重複度は
$$⟨{\chi }_V,\chi ⟩=\frac{1}{|G|}\sum _g|C_G(g)|\overline{\chi (g)}=\sum _{\text{共役類 }C}\overline{\chi (C)}$$
（類の大きさ $\times |C_G(g)|=|G|$ を用いた）。$S_4$ の既約指標（上の類の順）は
- 自明表現 $(1,1,1,1,1)$：重複度 $5$
- 符号表現 $(1,-1,1,1,-1)$：重複度 $1$
- $2$ 次元表現 $(2,0,2,-1,0)$：重複度 $3$
- 標準表現 $(3,1,-1,0,-1)$：重複度 $2$
- 標準表現と符号の積 $(3,-1,-1,0,1)$：重複度 $2$

次元の検算 $5\cdot 1+1\cdot 1+3\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 3=24$ も合う。シューアの補題より $\dim {\mathrm{End}}_G(V)=\sum m_{\chi }^2=25+1+9+4+4=43$ で一致する。

$V$ は $G$ の共役作用による置換表現で、指標は $\chi (g)=|C_G(g)|$（$g$ の共役作用での固定点数）。$\dim {\mathrm{End}}_G(V)=⟨\chi ,\chi ⟩=\frac{1}{|G|}{\sum }_g|C_G(g){|}^2$。各共役類 $[g]$ の大きさは $|G|/|C_G(g)|$ なので、$\frac{1}{|G|}{\sum }_{\text{類}}\frac{|G|}{|C|}|C{|}^2={\sum }_{\text{類}}|C_G(g)|$（共役類の代表元の中心化群の位数の和）。

$S_4$ の共役類と中心化群の位数: 単位元 24、互換 4、2 つの互換の積 8、3 サイクル 3、4 サイクル 4。和は $24+4+8+3+4=43$。

検算: 共役作用による $G\times G$ の軌道数にも等しく、$\frac{1}{24}{\sum }_g|C(g){|}^2=\frac{1}{24}(576+6\cdot 16+3\cdot 64+8\cdot 9+6\cdot 16)=\frac{1032}{24}=43$。