表現論の問題

$7$ 次対称群 $S_7$ の複素既約表現（同型類）は $7$ の分割 $\lambda$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(4,2,1)$ に対応する既約表現 $S^{(4,2,1)}$ の次元を求めよ。

$n$ を $4$ 以上の整数とする。$n$ 次対称群 $S_n$ の複素既約表現（同型類）は $n$ の分割と $1$ 対 $1$ に対応し、分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(n-2,2)$（第 $1$ 行に $n-2$ 個、第 $2$ 行に $2$ 個の箱をもつヤング図形）に対応する $S^{\lambda }$ の次元を $n$ の式で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$n+3$ 次対称群 $S_{n+3}$ の複素既約表現（同型類）は $n+3$ の分割と $1$ 対 $1$ に対応し、分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(n,2,1)$（$1$ 行目に $n$ 個、$2$ 行目に $2$ 個、$3$ 行目に $1$ 個の箱をもつヤング図形）に対応する既約表現 $S^{(n,2,1)}$ の次元を $n$ の式で表せ。

$n$ 次対称群 $S_n$ の複素既約表現（同型類）は $n$ の分割 $\lambda$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書き、$\lambda$ の共役分割（ヤング図形を転置した分割）を ${\lambda }^{\prime }$ と書く。$A_n$ を $n$ 次交代群とする。必要なら次の事実を用いてよい。

• $\lambda \ne {\lambda }^{\prime }$ のとき、$S^{\lambda }$ を $A_n$ に制限した表現は既約であり、$S^{\lambda }$ と $S^{{\lambda }^{\prime }}$ の制限は互いに同型である。
• $\lambda ={\lambda }^{\prime }$ のとき、$S^{\lambda }$ を $A_n$ に制限した表現は、互いに同型でない $2$ つの既約表現の直和に分解し、それらの次元はともに $\frac{1}{2}\dim S^{\lambda }$ である。
• $A_n$ の複素既約表現はすべて、ある $S^{\lambda }$ の $A_n$ への制限の既約成分として現れる。

$8$ 次交代群 $A_8$ の複素既約表現の次元の最大値を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$3n$ 次対称群 $S_{3n}$ の複素既約表現は $3n$ の分割と一対一に対応する（分割 $\lambda$ に対応する Specht 加群を $S^{\lambda }$ と書く）。$3$ 行 $n$ 列の長方形のヤング図形に対応する分割 $\lambda =(n,n,n)$ について、${\dim }_{\mathbb{C}}{S}^{\lambda }$ を $n$ の式で表せ。