表現論の問題

フック長公式: $N$ の分割 $\lambda$ に対し
$$\dim S^{\lambda }=\frac{N!}{{\prod }_{c\in \lambda }h(c)}$$
が成り立つ。ここで箱 $c$ のフック長 $h(c)$ は「$c$ の右にある箱の数（腕の長さ）$+$ $c$ の下にある箱の数（脚の長さ）$+1$」である。

$N=n+3$, $\lambda =(n,2,1)$ のフック長を、$(i,j)$ を $i$ 行 $j$ 列の箱として計算する（$n\ge 2$ なのでヤング図形として意味をもつ）。

1 行目
- $(1,1)$: 腕 $n-1$、脚 $2$（$2$ 行目・$3$ 行目に箱がある）なので $h=n+2$
- $(1,2)$: 腕 $n-2$、脚 $1$（$2$ 行目の $2$ 列目に箱がある）なので $h=n$
- $(1,j)(3\le j\le n)$: 腕 $n-j$、脚 $0$ なので $h=n-j+1$。これらは $n-2,n-3,\dots ,1$ を動き、積は $(n-2)!$（$n=2$ のときは該当する箱がなく、積は $0!=1$）

2 行目
- $(2,1)$: 腕 $1$、脚 $1$ なので $h=3$
- $(2,2)$: 腕 $0$、脚 $0$ なので $h=1$

3 行目
- $(3,1)$: $h=1$

よってフック長の積は
$$\prod _{c}h(c)=(n+2)\cdot n\cdot (n-2)!\cdot 3.$$
一方
$$(n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!$$
なので
$$\dim S^{(n,2,1)}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!}{3(n+2)n(n-2)!}=\frac{(n-1)(n+1)(n+3)}{3}.$$

検算: $n=2$ のとき $\lambda =(2,2,1)$ で $\dim =\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3}=5$、$n=3$ のとき $\lambda =(3,2,1)$ で $\dim =\frac{2\cdot 4\cdot 6}{3}=16$ となり、$S_5$, $S_6$ の既知の次元と一致する。

したがって $\dim S^{(n,2,1)}=\frac{(n-1)(n+1)(n+3)}{3}$。

フック長公式 $\dim S^{\lambda }=\frac{N!}{\prod h(c)}$ を $N=n+3$, $\lambda =(n,2,1)$ に用いる。各列の長さは、1 列目が 3、2 列目が 2、3 列目以降が 1。

1 行目のフック長: $(1,1)$ は腕 $n-1$、脚 $2$ より $n+2$。$(1,2)$ は腕 $n-2$、脚 $1$ より $n$。$(1,j)$ ($3\le j\le n$) は腕 $n-j$、脚 $0$ より $n-j+1$ で、これらの積は $(n-2)!$。
2 行目: $(2,1)$ は腕 1、脚 1 より 3。$(2,2)$ は 1。
3 行目: $(3,1)$ は 1。

よってフック長の積は $3n(n+2)(n-2)!$。
$$\dim S^{(n,2,1)}=\frac{(n+3)!}{3n(n+2)(n-2)!}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!}{3n(n+2)(n-2)!}=\frac{(n+3)(n+1)(n-1)}{3}.$$

検算: $n=2$ のとき $\lambda =(2,2,1)$ ($S_5$) で次元は 5。式は $5\cdot 3\cdot 1/3=5$ で一致。$n=3$ のとき $\lambda =(3,2,1)$ ($S_6$) で次元は 16。式は $6\cdot 4\cdot 2/3=16$ で一致。