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表現論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学表現論

$n$ 次対称群 $S_{n}$ の複素既約表現（同型類）は $n$ の分割 $λ$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $λ$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{λ}$ と書き、 $λ$ の共役分割（ヤング図形を転置した分割）を $λ^{'}$ と書く。 $A_{n}$ を $n$ 次交代群とする。必要なら次の事実を用いてよい。

$λ \neq = λ^{'}$ のとき、 $S^{λ}$ を $A_{n}$ に制限した表現は既約であり、 $S^{λ}$ と $S^{λ^{'}}$ の制限は互いに同型である。
$λ = λ^{'}$ のとき、 $S^{λ}$ を $A_{n}$ に制限した表現は、互いに同型でない $2$ つの既約表現の直和に分解し、それらの次元はともに $\frac{1}{2} dim S^{λ}$ である。
$A_{n}$ の複素既約表現はすべて、ある $S^{λ}$ の $A_{n}$ への制限の既約成分として現れる。

$8$ 次交代群 $A_{8}$ の複素既約表現の次元の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

対称群の既約表現の次元（フック長公式）（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S_{8}$ のすべての既約表現の次元をフック長公式で求め、各分割が自己共役かどうかを調べる方針で考えよう。共役な分割は同じ次元をもつので、計算は約半分で済む。

ヒント 2

$dim S^{λ} = 8! / \prod h (i, j)$ 。自己共役な分割（ $8$ では $(4, 2, 1, 1)$ と $(3, 3, 2)$ ）に対応する表現は、 $A_{8}$ に制限すると次元が半分の $2$ つに分かれる。

ヒント 3

$S_{8}$ の次元の最大値は $(4, 2, 1, 1)$ の $90$ だが、これは自己共役なので $A_{8}$ では $45$ が $2$ つになる。自己共役でない分割の中で次元が最大のものを探せばよい。

答えと解説

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70

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解説を読む

フック長公式　 $n$ の分割 $λ$ に対し、ヤング図形の各箱 $(i, j)$ のフック長 $h (i, j)$ （その箱自身、右にある箱の数、下にある箱の数の和）を用いて
$dim S^{λ} = \frac{n !}{\prod _{(i, j) \in λ} h ( i , j )}$
である。 $n = 8$ では $8! = 40320$ である。また $λ^{'}$ のフック長の多重集合は $λ$ のものと同じなので $dim S^{λ^{'}} = dim S^{λ}$ である。

$S_{8}$ の既約表現の次元　 $8$ の分割は $22$ 個ある。共役で移り合う組の一方についてフック長の積 $H$ と次元 $40320/ H$ を求める。
- $(8)$ ： $H = 8! = 40320$ 、次元 $1$ （共役 $(1^{8})$ ）
- $(7, 1)$ ：フック長 $8, 6, 5, 4, 3, 2, 1; 1$ 、 $H = 5760$ 、次元 $7$ （共役 $(2, 1^{6})$ ）
- $(6, 2)$ ： $7, 6, 4, 3, 2, 1; 2, 1$ 、 $H = 2016$ 、次元 $20$ （共役 $(2^{2}, 1^{4})$ ）
- $(6, 1, 1)$ ： $8, 5, 4, 3, 2, 1; 2; 1$ 、 $H = 1920$ 、次元 $21$ （共役 $(3, 1^{5})$ ）
- $(5, 3)$ ： $6, 5, 4, 2, 1; 3, 2, 1$ 、 $H = 1440$ 、次元 $28$ （共役 $(2^{3}, 1^{2})$ ）
- $(5, 2, 1)$ ： $7, 5, 3, 2, 1; 3, 1; 1$ 、 $H = 630$ 、次元 $64$ （共役 $(3, 2, 1^{3})$ ）
- $(5, 1^{3})$ ： $8, 4, 3, 2, 1; 3; 2; 1$ 、 $H = 1152$ 、次元 $35$ （共役 $(4, 1^{4})$ ）
- $(4, 4)$ ： $5, 4, 3, 2; 4, 3, 2, 1$ 、 $H = 2880$ 、次元 $14$ （共役 $(2^{4})$ ）
- $(4, 3, 1)$ ： $6, 4, 3, 1; 4, 2, 1; 1$ 、 $H = 576$ 、次元 $70$ （共役 $(3, 2, 2, 1)$ ）
- $(4, 2, 2)$ ： $6, 5, 2, 1; 3, 2; 2, 1$ 、 $H = 720$ 、次元 $56$ （共役 $(3, 3, 1, 1)$ ）
- $(4, 2, 1, 1)$ ： $7, 4, 2, 1; 4, 1; 2; 1$ 、 $H = 448$ 、次元 $90$ （自己共役）
- $(3, 3, 2)$ ： $5, 4, 2; 4, 3, 1; 2, 1$ 、 $H = 960$ 、次元 $42$ （自己共役）

自己共役な分割は $(4, 2, 1, 1)$ と $(3, 3, 2)$ の $2$ 個である（列の長さを読むと、 $(4, 2, 1, 1)$ の列の長さは $4, 2, 1, 1$ 、 $(3, 3, 2)$ の列の長さは $3, 3, 2$ ）。残りの $20$ 個は $10$ 組の共役対をなす。検算として次元の平方和を計算すると
$2 (1^{2} + 7^{2} + 2 0^{2} + 2 1^{2} + 2 8^{2} + 6 4^{2} + 3 5^{2} + 1 4^{2} + 7 0^{2} + 5 6^{2}) + 9 0^{2} + 4 2^{2} = 30456 + 8100 + 1764 = 40320$
となり、 $∣ S_{8} ∣$ に一致する。

$A_{8}$ への制限　与えられた事実より、
- 共役対 ${λ, λ^{'}}$ ( $λ \neq = λ^{'}$ ) からは次元 $dim S^{λ}$ の既約表現が $1$ 個ずつ得られる：次元 $1, 7, 20, 21, 28, 64, 35, 14, 70, 56$ 。
- $(4, 2, 1, 1)$ からは次元 $45$ の既約表現が $2$ 個、 $(3, 3, 2)$ からは次元 $21$ の既約表現が $2$ 個得られる。

これで $A_{8}$ の既約表現は $10 + 4 = 14$ 個であり、平方和は $15228 + 2 \cdot 4 5^{2} + 2 \cdot 2 1^{2} = 15228 + 4050 + 882 = 20160 = ∣ A_{8} ∣$ となって確かにすべて尽くしている。

$S_{8}$ で最大次元 $90$ をもつ $S^{(4, 2, 1, 1)}$ は自己共役なので $A_{8}$ では $45$ に分裂する。したがって $A_{8}$ の既約表現の次元の最大値は、 $S^{(4, 3, 1)}$ （および $S^{(3, 2, 2, 1)}$ ）の制限による $70$ である。

答え： $70$

別解

$S_{8}$ の既約表現の次元は、フック長公式 $dim S^{λ} = 8! / \prod (フック長)$ で計算できる。

主な分割の次元は次のとおり。
- $(7, 1)$ : 7
- $(6, 2)$ : 20
- $(6, 1, 1)$ : 21
- $(5, 3)$ : 28
- $(5, 2, 1)$ : 64
- $(5, 1, 1, 1)$ : 35
- $(4, 4)$ : 14
- $(4, 3, 1)$ : 70
- $(4, 2, 2)$ : 56
- $(4, 2, 1, 1)$ : 90
- $(3, 3, 2)$ : 42
- $(3, 3, 1, 1)$ : 56

$S_{8}$ の既約表現の次元の最大値は 90 で、これを与える分割は $(4, 2, 1, 1)$ だけである。

この分割は転置しても $(4, 2, 1, 1)$ に戻るので自己共役である。よって $A_{8}$ に制限すると、次元 45 の既約表現 2 つに分かれる。

$A_{8}$ の既約表現の次元は次のいずれかである。
- $λ \neq = λ^{'}$ のとき $dim S^{λ}$
- $λ = λ^{'}$ のとき $\frac{1}{2} dim S^{λ}$

自己共役でない分割のうち次元が最大のものは次のとおり。
- $(4, 3, 1)$ とその共役 $(3, 2, 2, 1)$ : 次元 70
- $(5, 2, 1)$ とその共役: 次元 64

自己共役な分割 $(4, 2, 1, 1)$ からは 45 が得られる。

以上より、最大値は $max {70, 64, 45, \dots} = 70$ である。

検算として $(4, 3, 1)$ のフック長を並べると、1行目 $6, 4, 3, 1$ 、2行目 $4, 2, 1$ 、3行目 $1$ となる。積は $576$ で、 $40320/576 = 70$ となり一致する。

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