対称群の既約表現の次元（フック長公式）

$S_{n}$ の既約表現が $n$ の分割 $λ$ と対応し、 $dim S^{λ}$ が形 $λ$ の標準ヤング盤の個数 $f^{λ} = \frac{n !}{\prod _{(i, j)} h ( i , j )}$ に等しいことを使って次元を求め、次元が奇数のものなど条件を満たす既約表現を数えられる

前提

既約表現の個数と次元（大学院数学表現論）
分割数と分割の母関数（大学数学離散数学・組合せ論）

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算数中学高校大学大学院

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説明

対称群 $S_{n}$ の既約表現（複素数体上）は、 $n$ の分割 $λ = (λ_{1} \geq λ_{2} \geq \dots \geq λ_{k} > 0)$ 、つまりヤング図形と 1 対 1 に対応します。分割 $λ$ に対応する既約表現を $S^{λ}$ と書くと、その次元はヤング図形の各箱の「フック長」だけで計算できます： $dim S^{λ} = f^{λ} = \frac{n !}{\prod _{(i, j) \in λ} h ( i , j )}$ 。これを使えば、 $S_{n}$ の既約表現の次元を一つずつ表を作らずに求められ、さらに「次元が奇数のもの」「次元が指定の値のもの」などを数えることができます。

なぜそうしてよいのか

なぜ分割と対応するのか. $S_{n}$ の共役類は巡回置換分解の型で決まり、型はちょうど $n$ の分割です。既約表現の個数は共役類の個数に等しいので、既約表現は $p (n)$ 個あります。実際には各分割 $λ$ ごとに具体的な既約表現 $S^{λ}$ （シュペヒト加群）が作れ、自明表現は $(n)$ 、符号表現は $(1, 1, \dots, 1)$ 、 ${1, \dots, n}$ の置換表現から自明表現を除いた $n - 1$ 次元表現は $(n - 1, 1)$ に対応します。この対応そのものは事実として使います。

次元 = 標準ヤング盤の個数. 形 $λ$ の標準ヤング盤とは、ヤング図形の $n$ 個の箱に $1, \dots, n$ を 1 回ずつ書き込み、各行は左から右へ、各列は上から下へ増加するようにしたものです。その個数を $f^{λ}$ とすると $dim S^{λ} = f^{λ}$ が成り立ちます。これがもっともらしい理由は、数 $n$ の入る箱が必ず図形の「角」（取り除いても図形がヤング図形のままの箱）になることです。角を除くと $f^{λ} = \sum_{μ} f^{μ}$ （ $μ$ は $λ$ から角を 1 つ除いた形）という漸化式が得られ、これは $S^{λ}$ を部分群 $S_{n - 1}$ に制限したときの分解 $S^{λ} ∣_{S_{n - 1}} ≅ ⨁_{μ} S^{μ}$ と同じ形をしています。また $\sum_{λ} (f^{λ})^{2} = n!$ も確かめられ、 $\sum d_{i}^{2} = ∣ G ∣$ と整合します（ $n = 4$ なら $1 + 9 + 4 + 9 + 1 = 24$ ）。

フック長公式. 箱 $(i, j)$ （ $i$ 行 $j$ 列）のフック長 $h (i, j)$ は「その箱自身 $+$ 右にある箱の個数 $+$ 下にある箱の個数」です。 $λ_{j}^{'}$ を $j$ 列目の長さとすると $h (i, j) = (λ_{i} - j) + (λ_{j}^{'} - i) + 1$ 。 $n!$ 通りある「 $1, \dots, n$ の勝手な書き込み」のうち、各箱がそのフックの中で最小、という条件を満たす割合を直観的に「各箱で $1/ h (i, j)$ 」と見積もると $f^{λ} = n! / \prod h (i, j)$ になります。この見積もりは各条件が独立でないので証明ではありませんが、上の漸化式をみたすことが示せて、結果は正確に成り立ちます。

手順

求めたい既約表現を $n$ の分割 $λ = (λ_{1}, λ_{2}, \dots)$ として表し、ヤング図形（ $i$ 行目に $λ_{i}$ 個の箱、左詰め）を描く
各箱 $(i, j)$ のフック長 $h (i, j) = (右の箱の数) + (下の箱の数) + 1$ を箱の中に書き込む
すべての箱のフック長の積 $\prod_{(i, j)} h (i, j)$ を計算する
$dim S^{λ} = f^{λ} = \frac{n !}{\prod h ( i , j )}$ を計算する（結果は必ず正の整数になる）
条件を満たす既約表現を数えるときは、 $n$ の分割を全部（ $p (n)$ 個）列挙して各次元を求める。転置した分割 $λ^{'}$ は $S^{λ} \otimes sgn$ に対応しフック長の多重集合も同じなので $f^{λ^{'}} = f^{λ}$ となり、計算を半分にできる

例題

対称群 $S_{6}$ の、分割 $λ = (3, 2, 1)$ に対応する既約表現 $S^{(3, 2, 1)}$ の次元を求めよ。

例題の解答

【手順 1】ヤング図形は 1 行目に 3 個、2 行目に 2 個、3 行目に 1 個の箱が左詰めで並ぶ（箱は全部で $6$ 個）。列の長さは $λ^{'} = (3, 2, 1)$ 。

【手順 2】各箱のフック長（右の箱の数 + 下の箱の数 + 1）は
- 1 行目： $(1, 1)$ は右 $2$ ・下 $2$ で $5$ 、 $(1, 2)$ は右 $1$ ・下 $1$ で $3$ 、 $(1, 3)$ は右 $0$ ・下 $0$ で $1$
- 2 行目： $(2, 1)$ は右 $1$ ・下 $1$ で $3$ 、 $(2, 2)$ は $1$
- 3 行目： $(3, 1)$ は $1$

【手順 3】積は $5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1 = 45$ 。

【手順 4】 $dim S^{(3, 2, 1)} = \frac{6 !}{45} = \frac{720}{45} = 16.$

（検算）数 $6$ が入る角は $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ の 3 つで、それを除いた形 $(2, 2, 1), (3, 1, 1), (3, 2)$ のフック長公式はそれぞれ $\frac{120}{4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1} = 5$ 、 $\frac{120}{5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 6$ 、 $\frac{120}{4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 5$ で、和 $5 + 6 + 5 = 16$ と一致する。

答え: $16$

よくある誤り

フック長でその箱自身の $1$ を数え忘れる誤り。 $(3, 2, 1)$ の箱 $(1, 1)$ を右 $2$ ・下 $2$ で $4$ としてしまうと $720/ (4 \cdot 2 \cdot \dots)$ のように整数にならないことがある。正しくは $h (1, 1) = 2 + 2 + 1 = 5$ で、図形の右端・下端の角の箱のフック長は $1$ （ $0$ ではない）。
多項係数 $\frac{n !}{λ _{1} ! λ _{2} ! \dots}$ を次元としてしまう誤り。 $(3, 2, 1)$ なら $\frac{720}{3 ! 2 ! 1 !} = 60$ となるが、これは行ごとに増加するだけの書き込み（置換表現 $M^{λ}$ の次元）の個数で、既約ではない。正しくは列方向の増加も要求した標準ヤング盤の個数で、 $\frac{720}{45} = 16$ 。
$(n - 1, 1)$ に対応する既約表現の次元を $n$ としてしまう誤り（置換表現と混同）。フック長は $(1, 1)$ が $n$ 、1 行目の残りが $n - 2, \dots, 1$ 、 $(2, 1)$ が $1$ なので、正しくは $\frac{n !}{n \cdot ( n - 2 )!} = n - 1$ 。 $n = 4$ なら $3$ 。
分割 $λ$ と転置 $λ^{'}$ を別々に数え忘れる、あるいは同じものとして 1 つに数える誤り。 $S_{4}$ で $(3, 1)$ と $(2, 1, 1)$ はどちらも次元 $3$ だが、別の既約表現（一方は他方に符号表現を掛けたもの）なので、次元 $3$ の既約表現は $2$ 個。ただし $(2, 2)$ のように $λ = λ^{'}$ のものは 1 個として数える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$7$ 次対称群 $S_{7}$ の複素既約表現（同型類）は $7$ の分割 $λ$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $λ$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{λ}$ と書く。分割 $λ = (4, 2, 1)$ に対応する既約表現 $S^{(4, 2, 1)}$ の次元を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

RSK 対応と増加・減少部分列（大学院数学代数的組合せ論）
フック内容公式（大学院数学代数的組合せ論）