代数的組合せ論の問題

箱の配置. 第 $i$ 行第 $j$ 列の箱を $(i,j)$ と書く。$\lambda /\mu$ の箱は次の $8$ 個である。
$$\text{第1行}:(1,4),(1,5),\text{第2行}:(2,3),(2,4),\text{第3行}:(3,2),(3,3),\text{第4行}:(4,1),(4,2).$$

方法 1（Aitken の行列式公式）. 歪シェイプの標準ヤング盤の個数 $f^{\lambda /\mu }$ は、$n=|\lambda |-|\mu |$ として
$$f^{\lambda /\mu }=n!\det {\left[\frac{1}{({\lambda }_i-{\mu }_j-i+j)!}\right]}_{1\le i,j\le \ell }$$
で与えられる（負の整数 $k$ に対しては $1/k!=0$ とする）。これは歪シューア関数のヤコビ・トゥルーディ公式 $s_{\lambda /\mu }=\det [h_{{\lambda }_i-{\mu }_j-i+j}]$ において $x_1+x_2+\cdots$ の $n$ 次の項の係数を比べることで得られる。ここで $\ell =4$、$\mu =(3,2,1,0)$、$n=14-6=8$ である。

${\lambda }_i-i$ は $i=1,2,3,4$ に対して $4,2,0,-2$、$-{\mu }_j+j$ は $j=1,2,3,4$ に対して $-2,0,2,4$ であるから、${\lambda }_i-{\mu }_j-i+j$ の表は
$$\left(\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 0& 2& 4& 6\\ -2& 0& 2& 4\\ -4& -2& 0& 2\end{array}\right).$$
よって $a=\frac{1}{2!}=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4!}=\frac{1}{24},c=\frac{1}{6!}=\frac{1}{720},d=\frac{1}{8!}=\frac{1}{40320}$ とおくと、求める行列式は
$$D_4=\det \left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ 1& a& b& c\\ 0& 1& a& b\\ 0& 0& 1& a\end{array}\right).$$
右下の $k\times k$ 小行列の行列式を $D_k$ とすると
$$D_2=a^2-b=\frac{1}{4}-\frac{1}{24}=\frac{5}{24},$$
$$D_3=a{D}_2-1\cdot (b\cdot a-c\cdot 1)=a{D}_2-ab+c=\frac{5}{48}-\frac{1}{48}+\frac{1}{720}=\frac{61}{720}.$$
$D_4$ を第 $1$ 列で展開すると、$(1,1)$ 余因子は $D_3$、$(2,1)$ 成分 $1$ の小行列式は
$$\det \left(\begin{array}{ccc}b& c& d\\ 1& a& b\\ 0& 1& a\end{array}\right)=b(a^2-b)-ca+d=b{D}_2-ac+d$$
なので
$$D_4=a{D}_3-b{D}_2+ac-d=\frac{61}{1440}-\frac{5}{576}+\frac{1}{1440}-\frac{1}{40320}.$$
分母を $40320$ にそろえると $\frac{61}{1440}=\frac{1708}{40320},\frac{5}{576}=\frac{350}{40320},\frac{1}{1440}=\frac{28}{40320}$ より
$$D_4=\frac{1708-350+28-1}{40320}=\frac{1385}{40320}.$$
したがって $f^{\lambda /\mu }=8!\cdot D_4=1385$。

方法 2（検算: 交代順列との対応）. 行と列の条件を書き出すと、箱を $x_1=(1,5),x_2=(1,4),x_3=(2,4),x_4=(2,3),x_5=(3,3),x_6=(3,2),x_7=(4,2),x_8=(4,1)$ と並べたとき、条件はちょうど
$$x_1>x_2<x_3>x_4<x_5>x_6<x_7>x_8$$
（$x_2<x_1$ は第1行、$x_2<x_3$ は第4列、$x_4<x_3$ は第2行、$x_4<x_5$ は第3列、…）である。よって標準ヤング盤は、長さ $8$ の交代順列（下降・上昇を交互に繰り返す順列）と $1$ 対 $1$ に対応し、その個数はオイラー数 $E_8$ である。$E_0,\dots ,E_7=1,1,1,2,5,16,61,272$ と漸化式 $2E_{m+1}={\sum }_{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)E_k{E}_{m-k}$（$m=7$）から
$$2E_8=272+427+336+350+350+336+427+272=2770,E_8=1385$$
となり、方法 1 と一致する。

答え: $1385$

$\lambda /\mu$ の各行は、1行目が列4,5、2行目が列3,4、3行目が列2,3、4行目が列1,2 の各2箱である。第 $i$ 行の左の箱を $a_i$、右の箱を $b_i$ とする。

行の条件は $a_i<b_i$（$i=1,\dots ,4$）である。
列の条件は、列4について $a_1<b_2$、列3について $a_2<b_3$、列2について $a_3<b_4$ である。列5と列1には箱が1つずつしかないので条件はない。

まとめると、順序の関係は $b_1>a_1<b_2>a_2<b_3>a_3<b_4>a_4$ である。これは8個の元が一列に並んだジグザグ（フェンス）型の半順序である。

したがって標準ヤング盤の個数は、長さ8の交代順列の個数、すなわちオイラーのジグザグ数 $E_8$ に等しい。

$E_0,\dots ,E_8=1,1,1,2,5,16,61,272,1385$ なので、答えは $E_8=1385$ である。