代数的組合せ論の問題

半標準ヤング盤では、数 $1,2,3,\dots$ を小さい順に書き込んでいくと、各段階で数 $1,\dots ,k$ が入った部分は分割の形（ヤング図形）になり、新しく加えた数 $k$ の箱は 水平帯（同じ列に 2 つ以上の箱を含まない歪図形）になる。逆に、形の列 $\varnothing ={\lambda }^{(0)}\subseteq {\lambda }^{(1)}\subseteq {\lambda }^{(2)}\subseteq {\lambda }^{(3)}=\lambda$ で、各 ${\lambda }^{(k)}/{\lambda }^{(k-1)}$ が ${\mu }_k$ 個の箱からなる水平帯であるものを 1 つ決めれば、半標準ヤング盤が 1 つ決まる。そこで、この形の列を数える。

ステップ 1（数 $1$）: $1$ は 2 個。$\varnothing$ に 2 個の箱からなる水平帯を加えると、形は $(2)$ しかない（$(1,1)$ は同じ列に 2 個並ぶので不可）。よって ${\lambda }^{(1)}=(2)$。

ステップ 2（数 $2$）: $(2)$ に 2 個の箱からなる水平帯を加え、結果が $(4,2)$ に含まれる分割になるものを探す。
- $(4)$: 第 1 行に 2 個加える → 水平帯である
- $(3,1)$: 第 1 行と第 2 行に 1 個ずつ（第 3 列と第 1 列）→ 列が異なるので水平帯
- $(2,2)$: 第 2 行に 2 個（第 1 列と第 2 列）→ 第 1 行の下なので列はそれぞれ 1 個ずつで水平帯
- $(2,1,1)$ は第 3 行があり $(4,2)$ に含まれないので不可

よって ${\lambda }^{(2)}$ は $(4),(3,1),(2,2)$ の 3 通り。

ステップ 3（数 $3$）: 各 ${\lambda }^{(2)}$ から $(4,2)$ までの差 $(4,2)/{\lambda }^{(2)}$（2 個の箱）が水平帯かを調べる。
- $(4,2)/(4)$: 第 2 行の第 1, 2 列 → 同じ列に 2 個ないので水平帯
- $(4,2)/(3,1)$: 第 1 行第 4 列と第 2 行第 2 列 → 水平帯
- $(4,2)/(2,2)$: 第 1 行の第 3, 4 列 → 水平帯

いずれも条件を満たす。

ステップ 4（まとめ）: 求める半標準ヤング盤は次の 3 個である（上の行から順に書く）。
$$\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 2\\ 3& 3& & \end{array}\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 2& 3& & \end{array}\begin{array}{cccc}1& 1& 3& 3\\ 2& 2& & \end{array}$$
よって $K_{(4,2),(2,2,2)}=3$ である。

内容 $(2,2,2)$ は、数 $1,2,3$ をそれぞれ 2 個ずつ使うことを意味する。形 $(4,2)$ は、第 1 行が 4 箱、第 2 行が 2 箱で、列 1・列 2 だけが 2 段になっている。

1 は各列の最上段にしか置けず（列は狭義単調増加）、かつ各行の左端側に集まるので、2 個の 1 はともに第 1 行の左 2 箱に入る。第 1 行は $1,1,a_3,a_4$（$a_3\le a_4$）、第 2 行は $b_1\le b_2$ となる。残りの数 $2,2,3,3$ を第 2 行の 2 箱と第 1 行の右 2 箱に分ける。列の条件は $b_1>1,b_2>1$ のみで、これは常に成り立つ。

第 2 行の取り方（多重集合）で場合分けする。
- 第 2 行が $2,2$: 第 1 行は $1,1,3,3$ → 1 通り
- 第 2 行が $2,3$: 第 1 行は $1,1,2,3$ → 1 通り
- 第 2 行が $3,3$: 第 1 行は $1,1,2,2$ → 1 通り

各場合に並び方は 1 通りに定まるので、合計 $3$ 個。

検算: $K_{(4,2),(2,2,2)}$ は、$\mu$ を並べ替えても値が変わらない（対称性）。たとえば内容 $(2,2,2)$ をウェイトとして $K_{(4,2),(4,1,1)}=1$ ($\lambda$ の第 1 行に $1,1,1,1$、第 2 行に $2,3$) などと比べても矛盾せず、また ${\sum }_{\lambda }{K}_{\lambda \mu }{f}^{\lambda }$ の関係から $K_{(6),\mu }=1,K_{(5,1),\mu }=2,K_{(4,2),\mu }=3,K_{(4,1,1),\mu }=1,K_{(3,3),\mu }=1,K_{(3,2,1),\mu }=2,K_{(2,2,2),\mu }=1$ となり、$1\cdot 1+2\cdot 5+3\cdot 9+1\cdot 10+1\cdot 5+2\cdot 16+1\cdot 5=90=6!/(2!{)}^3$ と一致する。