代数的組合せ論の問題

$n$ を正の整数とする。分割 $\lambda =(3,2,1)$ のヤング図形（英国式: 上から順に $3$ 個、$2$ 個、$1$ 個の箱を左詰めに並べたもの）の各箱に $\{1,2,\dots ,n\}$ の整数を $1$ つずつ書き込む。各行では左から右へ広義単調増加（等号を許す）、各列では上から下へ狭義単調増加となるような書き込み方（半標準ヤング盤）の個数を $n$ の式で求めよ。

分割 $\lambda$ のヤング図形（第 $i$ 行に ${\lambda }_i$ 個の箱を左詰めで並べ、第 1 行を一番上にかく）の各箱に正の整数を 1 つずつ書き入れたもので、各行では左から右へ広義単調増加、各列では上から下へ狭義単調増加となっているものを、形 $\lambda$ の半標準ヤング盤という。数 $i$ がちょうど ${\mu }_i$ 回現れるとき、その内容は $\mu =({\mu }_1,{\mu }_2,\dots )$ であるという。形 $\lambda$・内容 $\mu$ の半標準ヤング盤の個数をコストカ数 $K_{\lambda \mu }$ という。

$\lambda =(4,2)$, $\mu =(2,2,2)$ のとき、コストカ数 $K_{\lambda \mu }$ を求めよ。

分割 $\lambda =(5,4,2,1)$ のヤング図形を考える（英国式：上から順に $5,4,2,1$ 個の箱を左詰めに並べる）。各箱に $1,2,\dots ,12$ を $1$ つずつ重複なく書き込み、各行は左から右へ、各列は上から下へ増加するようにしたもの（標準ヤング盤）を考える。このような標準ヤング盤のうち、$11$ と $12$ が同じ行にあるものの個数を求めよ。

分割 $\lambda =(5,4,3,2)$ と $\mu =(3,2,1)$ を考える。ヤング図形は英国式（上から順に各行の箱を左詰めに並べる）で描くものとし、$\lambda$ のヤング図形から $\mu$ のヤング図形に含まれる箱を取り除いた歪ヤング図形 $\lambda /\mu$（箱は $8$ 個）を考える。

$\lambda /\mu$ の $8$ 個の箱に $1,2,\dots ,8$ を $1$ つずつ書き込む方法のうち、各行で左から右へ数が増加し、各列で上から下へ数が増加するもの（歪シェイプ $\lambda /\mu$ の標準ヤング盤）の個数を求めよ。

正の整数 $n$ の分割 $\lambda =({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_{\ell }>0)$ に対し、そのヤング図形（第 $i$ 行に ${\lambda }_i$ 個の箱を左詰めで並べた図形）を主対角線に関して転置して得られるヤング図形が表す分割を、$\lambda$ の共役分割といい ${\lambda }^{\prime }=({\lambda }_1^{\prime }\ge {\lambda }_2^{\prime }\ge \cdots )$ で表す。

$16$ の分割 $\lambda =(5,4,4,2,1)$ の共役分割 ${\lambda }^{\prime }$ を、その部分を大きい順に並べた組 $({\lambda }_1^{\prime },{\lambda }_2^{\prime },\dots )$ の形で求めよ。