フック内容公式

成分が ${1, \dots, n}$ の形 $λ$ の半標準ヤング盤の個数 $s_{λ} (1^{n}) = \prod_{c \in λ} \frac{n + c ( c )}{h ( c )}$ （ $c (c)$ は列番号 − 行番号）を $n$ の式で求められる

前提

半標準ヤング盤とコストカ数（大学院数学代数的組合せ論）
対称群の既約表現の次元（フック長公式）（大学院数学表現論）

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算数中学高校大学大学院

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置換の巡回置換分解と位数（大学数学代数学）
対称群の共役類（大学数学代数学）
二面体群の共役類（大学数学代数学）
既約表現の個数と次元（大学院数学表現論）
対称群の既約表現の次元（フック長公式）（大学院数学表現論）

説明

形 $λ$ の半標準ヤング盤（各行は左から右へ広義増加、各列は上から下へ狭義増加）で、成分を ${1, \dots, n}$ から取るものの個数 $s_{λ} (1^{n})$ を、盤の各マスに書いた 2 つの数（内容とフック長）の積だけで $n$ の式として求める技能です。公式は
$s_{λ} (1^{n}) = c \in λ \prod \frac{n + c ( c )}{h ( c )}$
で、マス $c = (i, j)$ （第 $i$ 行・第 $j$ 列）の内容は $c (c) = j - i$ 、フック長 $h (c)$ は $c$ 自身と、その右にあるマスの数と、下にあるマスの数の和です。内容ごとに $K_{λ μ}$ を足し上げる数え方をしなくても、任意の $n$ に対する個数が一度に得られます。

なぜそうしてよいのか

この公式の完全な証明には対称関数の理論が必要ですが、なぜこの形になるかは次の 3 点から納得できます。

(1) 1 行・1 列の場合に一致する。 $λ = (k)$ なら盤は ${1, \dots, n}$ から重複を許して $k$ 個選ぶことと同じで、個数は重複組合せ $(k n + k - 1)$ 。一方、第 $j$ マスの内容は $j - 1$ 、フック長は $k - j + 1$ なので積は $\frac{n ( n + 1 ) \dots ( n + k - 1 )}{k ( k - 1 ) \dots 1} = (k n + k - 1)$ です。 $λ = (1^{k})$ （1 列）なら相異なる $k$ 個を選ぶので $(k n)$ で、内容 $0, - 1, \dots, - (k - 1)$ 、フック長 $k, \dots, 1$ の積 $\frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !}$ と一致します。

(2) $n$ が大きいときの主要項がフック長公式と一致する。 $N = ∣ λ ∣$ とすると、 $N$ 個の成分がすべて異なる盤は、使う $N$ 個の数を選んで（ $(N n)$ 通り）小さい順に $1, \dots, N$ と読み替えれば標準ヤング盤になるので、ちょうど $(N n) f^{λ}$ 個です。成分に重複のある盤は、使う数が $N - 1$ 個以下なので $n$ について次数 $N - 1$ 以下の個数しかありません。よって個数は $n^{N}$ の係数が $\frac{f ^{λ}}{N !} = \frac{1}{\prod _{c} h ( c )}$ の $n$ の多項式で、これは右辺の主要項と一致します。

(3) 小さい $n$ で正しく $0$ になる。列は狭義増加なので、 $λ$ の行数 $ℓ$ より $n$ が小さいと盤は作れません。右辺の第 1 列のマスの内容は $0, - 1, \dots, - (ℓ - 1)$ なので、積は $n (n - 1) \dots (n - ℓ + 1)$ を因子に含み、 $n = 0, 1, \dots, ℓ - 1$ で確かに $0$ になります。分子の $n + c (c)$ は「そのマスが行・列の制約からどれだけ自由に値を選べるか」の目安で、分母の $h (c)$ が重複を補正していると考えるとよいでしょう。

手順

形 $λ$ のヤング図形を描く（第 $i$ 行に $λ_{i}$ 個のマスを左詰めで並べる）
各マス $(i, j)$ に内容 $c = j - i$ を書き込み、分子の因子 $n + (j - i)$ を求める
各マスのフック長 $h (i, j) = (λ_{i} - j) + (λ_{j}^{'} - i) + 1$ （右のマスの数 $+$ 下のマスの数 $+ 1$ 、 $λ_{j}^{'}$ は第 $j$ 列の長さ）を求める
$s_{λ} (1^{n}) = \frac{\prod _{c} ( n + c ( c ))}{\prod _{c} h ( c )}$ を計算して $n$ の式に整理する
$n = ℓ (λ)$ などの小さい値で、直接数えた個数と一致するか検算する

例題

$n$ を正の整数とする。形 $λ = (2, 2)$ の半標準ヤング盤で、成分がすべて ${1, 2, \dots, n}$ に属するものの個数を $n$ の式で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $λ = (2, 2)$ は $2 \times 2$ の正方形で、マスは $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ 。

【手順 2】内容 $j - i$ はそれぞれ $0, 1, - 1, 0$ 。分子は
$(n + 0) (n + 1) (n - 1) (n + 0) = n^{2} (n + 1) (n - 1) = n^{2} (n^{2} - 1) .$

【手順 3】フック長は $(1, 1)$ : 右に $1$ ・下に $1$ で $3$ 、 $(1, 2)$ : 下に $1$ で $2$ 、 $(2, 1)$ : 右に $1$ で $2$ 、 $(2, 2)$ : $1$ 。積は $3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 12$ 。

【手順 4】フック内容公式より
$s_{(2, 2)} (1^{n}) = \frac{n ^{2} ( n ^{2} - 1 )}{12} .$

【手順 5】 $n = 2$ では $\frac{4 \cdot 3}{12} = 1$ 。実際、列が狭義増加なので 1 行目は $1, 1$ 、2 行目は $2, 2$ しかなく $1$ 個で一致する（ $n = 1$ では $0$ となり、2 行の盤が作れないことと一致）。

答え: $\frac{n ^{2} ( n ^{2} - 1 )}{12}$

よくある誤り

内容を「行番号 − 列番号」としてしまう誤り。正しくは $c (i, j) = j - i$ （列番号 − 行番号）で、1 行目の右へ行くほど正、1 列目の下へ行くほど負（例: $λ = (1, 1)$ を逆にすると $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ となり、正しい $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ と食い違う）
フック長に自分自身のマスを数え忘れる誤り。正しくは $h (i, j) = (右のマスの数) + (下のマスの数) + 1$ （例: $(2, 2)$ の $(1, 1)$ のフック長は $2$ ではなく $3$ ）
分子の $n + c (c)$ と分母の $h (c)$ を別々のマスで対応させずに、 $\frac{n ^{∣ λ ∣}}{\prod h ( c )}$ のように内容を無視してしまう誤り。主要項は一致するが個数としては誤り（例: $λ = (2)$ で $\frac{n ^{2}}{2}$ ではなく $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ ）
標準ヤング盤の個数 $f^{λ}$ と取り違え、 $s_{λ} (1^{n})$ に $n!$ や $∣ λ ∣!$ を掛けてしまう誤り。フック内容公式は成分の重複を許す半標準ヤング盤の個数で、 $f^{λ} = \frac{∣ λ ∣ !}{\prod h ( c )}$ とは別物（例: $(2, 2)$ で $n = 4$ なら $\frac{16 \cdot 15}{12} = 20$ 、 $f^{(2, 2)} = 2$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$n$ を $2$ 以上の整数とする。分割 $λ = (2, 2)$ のヤング図形（英国式: 上から順に $2$ 個、 $2$ 個の箱を左詰めに並べたもの）の各箱に ${1, 2, \dots, n}$ の整数を $1$ つずつ書き込む。各行では左から右へ広義単調増加、各列では上から下へ狭義単調増加となる書き込み方（形 $(2, 2)$ の半標準ヤング盤）の個数を $n$ の式で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$n$ を正の整数とする。分割 $λ = (3, 2, 1)$ のヤング図形（英国式: 上から順に $3$ 個、 $2$ 個、 $1$ 個の箱を左詰めに並べたもの）の各箱に ${1, 2, \dots, n}$ の整数を $1$ つずつ書き込む。各行では左から右へ広義単調増加（等号を許す）、各列では上から下へ狭義単調増加となるような書き込み方（半標準ヤング盤）の個数を $n$ の式で求めよ。