代数的組合せ論の問題

フック・内容公式. 形 $\lambda$、成分が $\{1,\dots ,n\}$ の半標準ヤング盤の個数は、シューア関数の特殊化 $s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)$（$1$ が $n$ 個）に等しく、フック・内容公式
$$s_{\lambda }(1^n)=\prod _{u\in \lambda }\frac{n+c(u)}{h(u)}$$
で与えられる。ここで箱 $u=(i,j)$（$i$ 行 $j$ 列）の内容は $c(u)=j-i$、フック長 $h(u)$ は $u$ 自身と、その右にある箱・下にある箱の個数の和である。

内容とフック長. $\lambda =(3,2,1)$ の箱ごとに書き出す。
- 内容 $c(u)$: 第 1 行 $0,1,2$、第 2 行 $-1,0$、第 3 行 $-2$
- フック長 $h(u)$: 第 1 行 $5,3,1$、第 2 行 $3,1$、第 3 行 $1$

（例: 箱 $(1,1)$ は右に $2$ 個、下に $2$ 個あるので $h=1+2+2=5$。箱 $(1,2)$ は右に $1$ 個、下に $1$ 個で $h=3$。）

フック長の積は $5\cdot 3\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 1=45$、分子の積は
$$n(n+1)(n+2)\cdot (n-1)n\cdot (n-2)=n^2(n^2-1)(n^2-4).$$
よって求める個数は
$$\frac{n^2(n^2-1)(n^2-4)}{45}.$$

確認. $n=1,2$ では列の長さ $3$ の列に相異なる $3$ つの数が入らないので $0$ 個で、式も $0$ になる。$n=3$ では $\frac{9\cdot 8\cdot 5}{45}=8$。実際、$n=3$ のとき第 1 列は $1,2,3$ に決まり、残りの箱 $(1,2),(1,3),(2,2)$ について $(1,2)\le (1,3)$、$(1,2)<(2,2)$、$(2,2)\ge 2$ かつ $(2,2)\le 3$、$(1,2)\ge 1$ などの条件を数えると、$(1,2)=1$ のとき $(1,3)\in \{1,2,3\}$、$(2,2)\in \{2,3\}$ で $6$ 通り、$(1,2)=2$ のとき $(1,3)\in \{2,3\}$、$(2,2)=3$ で $2$ 通り、合計 $8$ 通りで一致する。

半標準ヤング盤の個数は Schur 多項式の値 $s_{\lambda }(1^n)$ に等しく、フック・コンテント公式 $s_{\lambda }(1^n)={\prod }_{\square \in \lambda }\frac{n+c(\square )}{h(\square )}$ で求まる（$c$ は箱の content = 列番号 − 行番号、$h$ はフック長）。
$\lambda =(3,2,1)$ の content は第 1 行 $0,1,2$、第 2 行 $-1,0$、第 3 行 $-2$。フック長は第 1 行 $5,3,1$、第 2 行 $3,1$、第 3 行 $1$ で、積は $5\cdot 3\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 1=45$。
分子は $n(n+1)(n+2)(n-1)n(n-2)=n^2(n^2-1)(n^2-4)$。よって個数は $\frac{n^2(n^2-1)(n^2-4)}{45}$。
検算: $n=1,2$ のとき 0（3 行の列は狭義増加なので $n\ge 3$ が必要）で整合。$n=3$ のとき $9\cdot 8\cdot 5/45=8$ で、これは ${\mathfrak{sl}}_3$ の随伴表現の次元 8 に一致する。