代数的組合せ論の問題

方針. 大きい数から順に取り除いて考える。標準ヤング盤 $T$ で最大の数 $12$ が入る箱は、右にも下にも箱がない箱（隅）でなければならない。$12$ を取り除くと、$1,\dots ,11$ を書いた標準ヤング盤が残る。したがって $11$ もこの残りの図形の隅にある。

$11$ と $12$ が同じ第 $r$ 行にある場合. 第 $r$ 行の箱のうち、隅になりうるのはその行の右端の箱だけである。よって $12$ は第 $r$ 行の右端 $(r,{\lambda }_r)$ にあり、$11$ は $12$ を除いた図形の第 $r$ 行の右端 $(r,{\lambda }_r-1)$ にある。この $2$ 箱を取り除いた図形もヤング図形でなければならない。そのための条件は
$${\lambda }_r\ge 2,{\lambda }_{r+1}\le {\lambda }_r-2$$
である（ただし ${\lambda }_5=0$ とする）。

各行を調べる。
- $r=1$：${\lambda }_2=4>5-2=3$ なので不可。
- $r=2$：${\lambda }_3=2\le 4-2=2$ なので可。
- $r=3$：${\lambda }_4=1>2-2=0$ なので不可。
- $r=4$：${\lambda }_4=1<2$ なので不可。

よって条件をみたすのは、$11,12$ がそれぞれ箱 $(2,3),(2,4)$ にある場合だけである。

対応関係. このとき残りの $1,\dots ,10$ は、形 $\mu =(5,2,2,1)$ の標準ヤング盤をなす。逆に、形 $\mu$ の任意の標準ヤング盤に $(2,3)$ へ $11$、$(2,4)$ へ $12$ を書き足す場合を考える。$(2,3)$ の上の箱 $(1,3)$、$(2,4)$ の上の箱 $(1,4)$ の数はどちらも $10$ 以下である。また $(2,3),(2,4)$ の下には箱がない。したがって、書き足したものは形 $\lambda$ の標準ヤング盤になる。以上より、求める個数は形 $\mu$ の標準ヤング盤の個数 $f^{\mu }$ に等しい。

フック長公式. $\mu =(5,2,2,1)$ の共役は ${\mu }^{\prime }=(4,3,1,1,1)$ である。箱 $(i,j)$ のフック長 $h(i,j)={\mu }_i-j+{\mu }_j^{\prime }-i+1$ を計算する。
- 第 $1$ 行：$8,6,3,2,1$
- 第 $2$ 行：$4,2$
- 第 $3$ 行：$3,1$
- 第 $4$ 行：$1$

フック長の積は $8\cdot 6\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 1=6912$ である。よって
$$f^{\mu }=\frac{10!}{6912}=\frac{3628800}{6912}=525.$$

答え：$525$

12 は角の箱にあり、11 が 12 と同じ行にあるとき、11 はその行で 12 のすぐ左の箱にある（行は左から右へ増加し、11 は 12 を除いた残りで最大だから）。さらに 12 を除いた図形で 11 が角の箱でなければならない。

各行を調べる。
- 1 行目：12 を除くと $(4,4,2,1)$ になり、$(1,4)$ の下に箱があるので角でない。不可。
- 2 行目：12 を $(2,4)$ に置く。除くと $(5,3,2,1)$ で、$(2,3)$ は角である。可。11 も除くと $(5,2,2,1)$ になる。
- 3 行目：12 を $(3,2)$ に置く。11 は $(3,1)$ だが、その下に $(4,1)$ があるので角でない。不可。
- 4 行目：1 箱しかないので同じ行に 11 は置けない。不可。

よって求める個数は、$(5,2,2,1)$ の標準ヤング盤の個数 $f^{(5,2,2,1)}$ である。

フック長公式で計算する。フック長は
- 1 行目：$8,6,3,2,1$
- 2 行目：$4,2$
- 3 行目：$3,1$
- 4 行目：$1$

で、積は $288\cdot 8\cdot 3=6912$ になる。したがって
$$\frac{10!}{6912}=\frac{3628800}{6912}=525.$$
検算：$6912\times 525=3628800$ となり一致する。