表現論の問題

表現・指標はすべて複素数体 $\mathbb{C}$ 上の有限次元のものとする。$G$ を有限群とし、$G^{\prime }$ をその交換子群とする。また
$$N=\#\{(x,y)\in G\times G\mid xy=yx\}$$
を、$G$ の可換な元の順序対の個数とする。このとき
$$4N\le |G|(|G|+3[G:G^{\prime }])$$
が成り立ち、さらに等号が成り立つための必要十分条件は「$G$ の次数が $1$ でない既約指標の次数がすべて $2$ であること」（そのような既約指標が存在しない場合も含む）であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 有限群 $G$ の既約指標の個数は $G$ の共役類の個数に等しい。
- 既約指標の次数を $d_1,\dots ,d_k$ とすると ${\sum }_{i=1}^k{d}_i^2=|G|$ である。
- $G$ の次数 $1$ の指標の個数は $[G:G^{\prime }]$ に等しい。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$n+3$ 次対称群 $S_{n+3}$ の複素既約表現（同型類）は $n+3$ の分割と $1$ 対 $1$ に対応し、分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書く。分割 $\lambda =(n,2,1)$（$1$ 行目に $n$ 個、$2$ 行目に $2$ 個、$3$ 行目に $1$ 個の箱をもつヤング図形）に対応する既約表現 $S^{(n,2,1)}$ の次元を $n$ の式で表せ。

$n$ を正の整数とする。$3n$ 次対称群 $S_{3n}$ の複素既約表現は $3n$ の分割と一対一に対応する（分割 $\lambda$ に対応する Specht 加群を $S^{\lambda }$ と書く）。$3$ 行 $n$ 列の長方形のヤング図形に対応する分割 $\lambda =(n,n,n)$ について、${\dim }_{\mathbb{C}}{S}^{\lambda }$ を $n$ の式で表せ。

$n$ 次対称群 $S_n$ の複素既約表現（同型類）は $n$ の分割 $\lambda$ と $1$ 対 $1$ に対応する。分割 $\lambda$ に対応する既約表現（Specht 加群）を $S^{\lambda }$ と書き、$\lambda$ の共役分割（ヤング図形を転置した分割）を ${\lambda }^{\prime }$ と書く。$A_n$ を $n$ 次交代群とする。必要なら次の事実を用いてよい。

• $\lambda \ne {\lambda }^{\prime }$ のとき、$S^{\lambda }$ を $A_n$ に制限した表現は既約であり、$S^{\lambda }$ と $S^{{\lambda }^{\prime }}$ の制限は互いに同型である。
• $\lambda ={\lambda }^{\prime }$ のとき、$S^{\lambda }$ を $A_n$ に制限した表現は、互いに同型でない $2$ つの既約表現の直和に分解し、それらの次元はともに $\frac{1}{2}\dim S^{\lambda }$ である。
• $A_n$ の複素既約表現はすべて、ある $S^{\lambda }$ の $A_n$ への制限の既約成分として現れる。

$8$ 次交代群 $A_8$ の複素既約表現の次元の最大値を求めよ。

$G$ を有限群、$V$ を複素数体 $\mathbb{C}$ 上の $0$ でない有限次元ベクトル空間とし、$\rho :G\to GL(V)$ を $G$ の表現、$\chi (g)=\mathrm{tr}\rho (g)$ をその指標とする。$n=\dim V$ とおく。$G^{\prime }$ は $G$ の交換子群（交換子 $xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ $(x,y\in G)$ 全体で生成される部分群）とする。

すべての $g\in G$ に対して $|\chi (g)|=n$ が成り立つと仮定する。このとき、すべての $h\in G^{\prime }$ に対して $\rho (h)={\mathrm{id}}_V$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 各 $g\in G$ に対し、$\rho (g)$ は対角化可能であり、その固有値はすべて $1$ のべき根（特に絶対値 $1$ の複素数）である。